Método del complemento de Schur

En análisis numérico , el método del complemento de Schur , que recibe su nombre de Issai Schur , es la versión básica y más antigua del método de descomposición de dominios no superpuestos , también llamado subestructuración iterativa . Un problema de elementos finitos se divide en subdominios no superpuestos y se eliminan las incógnitas en el interior de los subdominios. El sistema de complemento de Schur restante, con las incógnitas asociadas a las interfaces de los subdominios, se resuelve mediante el método del gradiente conjugado .

Supongamos que queremos resolver la ecuación de Poisson.

${\displaystyle -\Delta u=f,\qquad u|_{\partial \Omega }=0}$

en un dominio Ω. Al discretizar este problema, obtenemos un sistema lineal N -dimensional AU = F. El método _{del complemento de Schur divide el sistema lineal en subproblemas. Para ello, dividimos Ω en dos subdominios Ω₁ y Ω₂ que comparten una interfaz Γ. Sean U₁ , U₂ y UΓ} los grados _de libertad _asociados a cada subdominio y a _la interfaz. Entonces podemos escribir el sistema lineal como

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}A_{11}&0&A_{1\Gamma }\\0&A_{22}&A_{2\Gamma }\\A_{\Gamma 1}&A_{\Gamma 2}&A_{\Gamma \Gamma }\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}U_{1}\\U_{2}\\U_{\Gamma }\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{\Gamma }\end{matrix}}\right],}$

donde F ₁ , F ₂ y F _Γ son las componentes del vector de carga en cada región.

El método del complemento de Schur procede observando que podemos encontrar los valores en la interfaz resolviendo el sistema más pequeño.

${\displaystyle \Sigma U_{\Gamma }=F_{\Gamma }-A_{\Gamma 1}A_{11}^{-1}F_{1}-A_{\Gamma 2}A_{22}^{-1}F_{2},}$

para los valores de interfaz U _Γ , donde definimos la matriz de complemento de Schur

${\displaystyle \Sigma =A_{\Gamma \Gamma }-A_{\Gamma 1}A_{11}^{-1}A_{1\Gamma }-A_{\Gamma 2}A_{22}^{-1}A_{2\Gamma }.}$

Lo importante a tener en cuenta es que el cálculo de cualquier cantidad que involucre${\displaystyle A_{11}^{-1}}$o${\displaystyle A_{22}^{-1}}$Esto implica resolver problemas de Dirichlet desacoplados en cada dominio, y estos pueden realizarse en paralelo. Por consiguiente, no es necesario almacenar explícitamente la matriz del complemento de Schur; basta con saber cómo multiplicar un vector por ella.

Una vez que conocemos los valores en la interfaz, podemos encontrar los valores internos utilizando las dos relaciones.

${\displaystyle A_{11}U_{1}=F_{1}-A_{1\Gamma }U_{\Gamma },\qquad A_{22}U_{2}=F_{2}-A_{2\Gamma }U_{\Gamma },}$

ambas tareas pueden realizarse en paralelo.

La multiplicación de un vector por el complemento de Schur es una versión discreta del operador de Poincaré-Steklov , también llamado mapeo de Dirichlet a Neumann .

Este método presenta dos ventajas. En primer lugar, permite eliminar las incógnitas internas en los subdominios, es decir, resolver los problemas de Dirichlet en paralelo. En segundo lugar, al pasar al complemento de Schur se reduce el número de condición, lo que tiende a disminuir el número de iteraciones. Para problemas de segundo orden, como la ecuación de Laplace o la elasticidad lineal , la matriz del sistema tiene un número de condición del orden de 1/ h² , donde h es el tamaño característico del elemento. Sin embargo, el complemento de Schur solo tiene un número de condición del orden de ¹ / h . 

Para el análisis de rendimientos, el método del complemento de Schur se combina con un precondicionamiento, al menos un precondicionador diagonal . El método de Neumann-Neumann y el método de Neumann-Dirichlet son variantes del método del complemento de Schur con precondicionadores específicos.

Cuando se utiliza una función rápida, especialmente en computadoras paralelas de bajo costo, el método del complemento de Schur es relativamente eficiente. ^{[ 1 ]}