Teorema del núcleo de Schwartz

En matemáticas , el teorema del núcleo de Schwartz es un resultado fundamental en la teoría de las funciones generalizadas , publicado por Laurent Schwartz en 1952. En términos generales, establece que las funciones generalizadas introducidas por Schwartz ( distribuciones de Schwartz ) tienen una teoría de dos variables que incluye todas las formas bilineales razonables en el espacio${\displaystyle {\mathcal {D}}}$de funciones de prueba . El espacio${\displaystyle {\mathcal {D}}}$en sí consiste en funciones suaves de soporte compacto .

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$ser conjuntos abiertos en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Cada distribución${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$define un mapa lineal continuo${\displaystyle K\colon {\mathcal {D}}(Y)\to {\mathcal {D}}'(X)}$de tal manera que

por cada${\displaystyle u\in {\mathcal {D}}(X),v\in {\mathcal {D}}(Y)}$. Por el contrario, para cada mapa lineal continuo de este tipo${\displaystyle K}$Existe una y solo una distribución.${\displaystyle k\in {\mathcal {D}}'(X\times Y)}$de tal manera que ( 1 ) se cumple. La distribución${\displaystyle k}$se denomina núcleo del mapa${\displaystyle K}$, en referencia al núcleo de una transformada integral . En consonancia con esto, a veces se escribe el mapeo lineal.${\displaystyle K}$informalmente como

${\displaystyle Kv=\int _ {Y}k(\cdot ,y)v(y)dy}$

de modo que

${\displaystyle \langle Kv,u\rangle =\int _ {X}\int _ {Y}k(x,y)v(y)u(x)dydx}$.

Las funciones del núcleo tradicionales${\displaystyle K(x,y)}$de dos variables de la teoría de operadores integrales se ha ampliado en alcance para incluir sus análogos de funciones generalizadas, que pueden ser más singulares de manera seria, una gran clase de operadores de${\displaystyle {\mathcal {D}}}$a su doble espacio${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$de distribuciones se pueden construir. El objetivo del teorema es afirmar que la clase extendida de operadores puede caracterizarse abstractamente, como la que contiene todos los operadores sujetos a una condición de continuidad mínima. Una forma bilineal en${\displaystyle {\mathcal {D}}}$Surge al combinar la distribución de la imagen con una función de prueba.

Un ejemplo sencillo es que la incrustación natural del espacio de la función de prueba${\displaystyle {\mathcal {D}}}$en${\displaystyle {\mathcal {D}}'}$- enviando cada función de prueba${\displaystyle f}$a su distribución correspondiente${\displaystyle [f]}$- corresponde a la distribución delta

${\displaystyle \delta (xy)}$

concentrado en la diagonal del espacio euclidiano subrayado, en términos de la función delta de Dirac.${\displaystyle \delta }$. Si bien esto es a lo sumo una observación, muestra cómo la teoría de la distribución amplía el alcance. Los operadores integrales no son tan 'singulares'; otra forma de decirlo es que para${\displaystyle K}$un núcleo continuo, solo se crean operadores compactos en un espacio como las funciones continuas en${\displaystyle [0,1]}$El operador${\displaystyle I}$está lejos de ser compacto, y su núcleo se aproxima intuitivamente mediante funciones en${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$con una espiga a lo largo de la diagonal${\displaystyle x=y}$y desapareciendo en otros lugares.

Este resultado implica que la formación de distribuciones posee una importante propiedad de «cierre» dentro del dominio tradicional del análisis funcional . Fue interpretado (comentario de Jean Dieudonné ) como una sólida verificación de la idoneidad de la teoría de distribuciones de Schwartz para el análisis matemático en un sentido más amplio. En su volumen 7, pág. 3 de Éléments d'analyse, señala que el teorema incluye operadores diferenciales en igualdad de condiciones que los operadores integrales, y concluye que es quizás el resultado moderno más importante del análisis funcional. Inmediatamente después, matiza esta afirmación, indicando que el contexto es demasiado amplio para los operadores diferenciales, debido a la propiedad de monotonicidad con respecto al soporte de una función , lo cual es evidente para la diferenciación. Incluso la monotonicidad con respecto al soporte singular no es característica del caso general; su consideración conduce a la teoría contemporánea de los operadores pseudodiferenciales .  

Dieudonné demuestra una versión del resultado de Schwartz válida para variedades diferenciables , y otros resultados que lo respaldan, en las secciones 23.9 a 23.12 de ese libro .

Gran parte de la teoría de los espacios nucleares fue desarrollada por Alexander Grothendieck mientras investigaba el teorema del núcleo de Schwartz y publicada en Grothendieck 1955. Tenemos la siguiente generalización del teorema.

Teorema del núcleo de Schwartz : ^{[ 1 ]} Supongamos que X es nuclear , Y es localmente convexa y v es una forma bilineal continua en${\displaystyle X\times Y}$. Entonces v se origina a partir de un espacio de la forma${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }{\widehat {\otimes }}_{\epsilon }Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$dónde${\displaystyle A^{\prime }}$y${\displaystyle B^{\prime }}$son subconjuntos equicontinuos adecuados de${\displaystyle X^{\prime }}$y${\displaystyle Y^{\prime }}$. De forma equivalente, v tiene la forma,

${\displaystyle v(x,y)=\sum _{i=1}^{\infty }\lambda _{i}\left\langle x,x_{i}^{\prime }\right\rangle \left\langle y,y_{i}^{\prime }\right\rangle }$a pesar de${\displaystyle (x,y)\in X\times Y}$

dónde${\displaystyle \left(\lambda _{i}\right)\in l^{1}}$y cada uno de${\displaystyle \{x_{1}^{\prime },x_{2}^{\prime },\ldots \}}$y${\displaystyle \{y_{1}^{\prime },y_{2}^{\prime },\ldots \}}$son equicontinuas. Además, estas secuencias pueden tomarse como secuencias nulas (es decir, convergentes a 0) en${\displaystyle X_{A^{\prime }}^{\prime }}$y${\displaystyle Y_{B^{\prime }}^{\prime }}$, respectivamente.

• núcleo de Fredholm
• Producto tensorial inyectivo
• Operador nuclear – Operador lineal relacionado con espacios vectoriales topológicos 
• Espacio nuclear : generalización de espacios euclidianos de dimensión finita, distintos de los espacios de Hilbert. 
• Producto tensorial proyectivo
• Espacio de Hilbert aparejado : construcción para agregar objetos a un espacio de Hilbert. 
• Clase de traza : operador compacto para el cual se puede definir una traza finita. 

• Grothendieck, Alexander (1955). "Produits Tensoriels Topologiques et Espaces Nucléaires" [ Productos tensoriales topológicos y espacios nucleares ] . Memoirs of the American Mathematical Society Series (en francés). 16. Providence: American Mathematical Society. MR 0075539. OCLC 9308061 .  
• Hörmander, L. (1983). El análisis de operadores diferenciales parciales lineales I. Grundl. Matemáticas. Wissenschaft. vol.  256. Saltador. doi : 10.1007/978-3-642-96750-4 . ISBN 3-540-12104-8MR 0717035 .​ .
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0OCLC 840278135​​ 
• Trèves, François (2006) [1967]. Espacios vectoriales topológicos, distribuciones y núcleos . Mineola, Nueva York: Publicaciones de Dover. ISBN 978-0-486-45352-1OCLC 853623322 .​ 
• Wong, Yau-Chuen (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6OCLC 5126158​​ 

• GL Litvinov (2001) [1994], "Forma bilineal nuclear" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press