Cauchy–Schwarz inequality

Sedrakyan's inequality, also known as Bergström's inequality, Engel's form, Titu's lemma (or the T2 lemma), states that for real numbers ${\ Displaystyle u_ {1}, u_ {2}, \ puntos, u_ {n}}$y números reales positivos${\displaystyle v_{1},v_{2},\dots,v_{n}}$: $${\displaystyle {\frac {\left(u_{1}+u_{2}+\cdots +u_{n}\right)^{2}}{v_{1}+v_{2}+\cdots +v_{n}}}\leq {\frac {u_{1}^{2}}{v_{1}}}+{\frac {u_{2}^{2}}{v_{2}}}+\cdots +{\frac {u_{n}^{2}}{v_{n}}},}$$ o, utilizando la notación de sumatoria, $${\displaystyle {\dfrac {\left(\sum \limits _{i=1}^{n}u_{i}\right)^{2}}{\sum \limits _{i=1}^{n}v_{i}}}\leq \sum _{i=1}^{n}{\frac {u_{i}^{2}}{v_{i}}}.}$$

Es una consecuencia directa de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, obtenida mediante el uso del producto escalar en${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$al sustituir${\displaystyle u_{i}'={\frac {u_{i}}{\sqrt {v_{i}{\vphantom {t}}}}}}$y${\displaystyle v_{i}'={\textstyle {\sqrt {v_{i}{\vphantom {t}}}}}}$Esta forma es especialmente útil cuando la desigualdad involucra fracciones donde el numerador es un cuadrado perfecto .

El espacio vectorial real${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$denota el plano bidimensional. También es el espacio euclidiano bidimensional donde el producto interno es el producto escalar . Si${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2})}$y${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})}$Entonces la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en: $${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}={\bigl (}\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta {\bigr )}^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},}$$ dónde${\displaystyle \theta }$es el ángulo entre${\displaystyle \mathbf {u} }$y${\displaystyle \mathbf {v} }$.

La forma que se presenta aquí es quizás la más sencilla para comprender la desigualdad, ya que el cuadrado del coseno puede ser como máximo 1, lo que ocurre cuando los vectores apuntan en la misma dirección o en direcciones opuestas. También se puede reformular en términos de las coordenadas vectoriales.${\displaystyle u_{1}}$,${\displaystyle u_{2}}$,${\displaystyle v_{1}}$, y${\displaystyle v_{2}}$como $${\displaystyle \left(u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}\right)^{2}\leq \left(u_{1}^{2}+u_{2}^{2}\right)\left(v_{1}^{2}+v_{2}^{2}\right),}$$ donde la igualdad se cumple si y solo si el vector${\displaystyle \left(u_{1},u_{2}\right)}$está en la misma dirección o en la dirección opuesta al vector${\displaystyle \left(v_{1},v_{2}\right)}$o si uno de ellos es el vector cero.

En el espacio euclidiano${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$Con el producto escalar estándar, la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en: $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}v_{i}{\biggr )}^{2}\leq {\biggl (}\sum _{i=1}^{n}u_{i}^{2}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i=1}^{n}v_{i}^{2}{\biggr )}.}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede demostrar utilizando únicamente álgebra elemental en este caso, observando que la diferencia entre el lado derecho y el lado izquierdo es $${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}(u_{i}v_{j}-u_{j}v_{i})^{2}\geq 0}$$

o considerando el siguiente polinomio cuadrático en${\displaystyle x}$$${\displaystyle (u_{1}x+v_{1})^{2}+\cdots +(u_{n}x+v_{n})^{2}={\biggl (}\sum _{i}u_{i}^{2}{\biggr )}x^{2}+2{\biggl (}\sum _{i}u_{i}v_{i}{\biggr )}x+\sum _{i}v_{i}^{2}.}$$

Dado que este último polinomio es no negativo, tiene como máximo una raíz real, por lo tanto su discriminante es menor o igual que cero. Es decir, $${\displaystyle {\biggl (}\sum _{i}u_{i}v_{i}{\biggr )}^{2}-{\biggl (}\sum _{i}{u_{i}^{2}}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{i}{v_{i}^{2}}{\biggr )}\leq 0.}$$

Si${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in \mathbb {C} ^{n}}$con${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\ldots ,u_{n})}$y${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$(dónde${\displaystyle u_{1},\ldots ,u_{n}\in \mathbb {C} }$y${\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{n}\in \mathbb {C} }$) y si el producto interno en el espacio vectorial${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$es el producto interno complejo canónico (definido por${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle$ :=u_{1}{\overline {v_{1}}}+\cdots +u_{n}{\overline {v_{n}}},} donde la notación de barra se utiliza para la conjugación compleja ), entonces la desigualdad puede reformularse de forma más explícita como sigue: $${\displaystyle {\bigl |}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle {\bigr |}^{2}={\Biggl |}\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {v}}_{k}{\Biggr |}^{2}\leq \langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle \langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ={\biggl (}\sum _{k=1}^{n}u_{k}{\bar {u}}_{k}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{k=1}^{n}v_{k}{\bar {v}}_{k}{\biggr )}=\sum _{j=1}^{n}|u_{j}|^{2}\sum _{k=1}^{n}|v_{k}|^{2}.}$$

Eso es, $${\displaystyle {\bigl |}u_{1}{\bar {v}}_{1}+\cdots +u_{n}{\bar {v}}_{n}{\bigr |}^{2}\leq {\bigl (}|u_{1}|{}^{2}+\cdots +|u_{n}|{}^{2}{\bigr )}{\bigl (}|v_{1}|{}^{2}+\cdots +|v_{n}|{}^{2}{\bigr )}.}$$

Para el espacio de producto interno de funciones de valor complejo de cuadrado integrable , se cumple la siguiente desigualdad. $${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bigl |}f(x){\bigr |}^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\bigl |}g(x){\bigr |}^{2}\,dx.}$$

La desigualdad de Hölder es una generalización de esto.

En cualquier espacio con producto interno , la desigualdad triangular es una consecuencia de la desigualdad de Cauchy-Schwarz, como se muestra a continuación: $${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}\|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|^{2}&=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle &&\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ where }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }}\\&=\|\mathbf {u} \|^{2}+2\operatorname {Re} \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |+\|\mathbf {v} \|^{2}&&\\&\leq \|\mathbf {u} \|^{2}+2\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|+\|\mathbf {v} \|^{2}~&&~{\text{ using CS}}\\&={\bigl (}\|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|{\bigr )}^{2}.&&\end{alignedat}}}$$

Al tomar raíces cuadradas se obtiene la desigualdad triangular: $${\displaystyle \|\mathbf {u} +\mathbf {v} \|\leq \|\mathbf {u} \|+\|\mathbf {v} \|.}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se utiliza para demostrar que el producto interno es una función continua con respecto a la topología inducida por el propio producto interno. ^{[ 11 ] [ 12 ]}

La desigualdad de Cauchy-Schwarz permite extender la noción de "ángulo entre dos vectores" a cualquier espacio real con producto interno definiendo: ^{[ 13 ] [ 14 ]}$${\displaystyle \cos \theta _{\mathbf {u} \mathbf {v} }={\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}.}$$

La desigualdad de Cauchy-Schwarz demuestra que esta definición es sensata, al mostrar que el lado derecho se encuentra en el intervalo [ − 1,  1] y justifica la noción de que los espacios de Hilbert (reales) son simplemente generalizaciones del espacio euclidiano . También puede usarse para definir un ángulo en espacios de producto interno complejos , tomando el valor absoluto o la parte real del lado derecho, ^{[ 15 ] [ 16 ]} como se hace al extraer una métrica de la fidelidad cuántica .

La desigualdad de Cauchy-Schwarz se puede utilizar para demostrar el teorema espectral para operadores autoadjuntos en el caso de dimensión finita. ^{[ 17 ]}

Dejar${\displaystyle A}$sea ​​un operador autoadjunto en un espacio de producto interno de dimensión finita y${\displaystyle \mathbf {u} }$sea ​​un vector distinto de cero que maximice${\displaystyle {\frac {\|A\mathbf {u} \|}{\|\mathbf {u} \|}}}$. La existencia de${\displaystyle \mathbf {u} }$está garantizado por el teorema de Heine-Borel . Si${\displaystyle A\mathbf {u} =\mathbf {0} }$entonces${\displaystyle \mathbf {u} }$es un vector propio de${\displaystyle A}$. De lo contrario, la propiedad de maximización de${\displaystyle \mathbf {u} }$implica que $${\displaystyle {\frac {\|A\mathbf {u} \|}{\|\mathbf {u} \|}}\geq {\frac {\|A(A\mathbf {u} )\|}{\|A\mathbf {u} \|}}.}$$En la otra dirección, la desigualdad de Cauchy-Schwarz implica que $${\displaystyle \|A\mathbf {u} \|^{2}=\langle A\mathbf {u} ,A\mathbf {u} \rangle =\langle \mathbf {u} ,A^{2}\mathbf {u} \rangle \leq \|\mathbf {u} \|\|A^{2}\mathbf {u} \|,}$$Por lo tanto, se cumple la igualdad. Por la caracterización de la igualdad ,${\displaystyle \mathbf {u} }$y${\displaystyle A^{2}\mathbf {u} }$son linealmente dependientes, por lo tanto${\displaystyle \mathbf {u} }$es un vector propio de${\displaystyle A^{2}}$. A partir de aquí es sencillo deducir que${\displaystyle A}$tiene un vector propio, entonces el teorema espectral se deduce tomando el complemento ortogonal y argumentando por inducción sobre la dimensión del espacio del producto interno.

Dejar${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$sean variables aleatorias . Entonces, la desigualdad de covarianza ^{[ 18 ] [ 19 ]} viene dada por: $${\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq {\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)^{2}}{\operatorname {Var} (Y)}}.}$$

Después de definir un producto interno en el conjunto de variables aleatorias utilizando la esperanza de su producto, $${\displaystyle \langle X,Y\rangle$$ :=\operatorname {E} (XY),} la desigualdad de Cauchy-Schwarz se convierte en $${\displaystyle {\bigl |}\operatorname {E} (XY){\bigr |}^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\operatorname {E} (Y^{2}).}$$

Para demostrar la desigualdad de covarianza utilizando la desigualdad de Cauchy-Schwarz, sea${\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)}$y${\displaystyle \nu =\operatorname {E} (Y),}$entonces $${\displaystyle {\begin{aligned}{\bigl |}\operatorname {Cov} (X,Y){\bigr |}^{2}&={\bigl |}\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu )){\bigr |}^{2}\\&={\bigl |}\langle X-\mu ,Y-\nu \rangle {\bigr |}^{2}\\&\leq \langle X-\mu ,X-\mu \rangle \langle Y-\nu ,Y-\nu \rangle \\&=\operatorname {E} \left((X-\mu )^{2}\right)\operatorname {E} \left((Y-\nu )^{2}\right)\\&=\operatorname {Var} (X)\operatorname {Var} (Y),\end{aligned}}}$$ dónde${\displaystyle \operatorname {Var} }$denota varianza y${\displaystyle \operatorname {Cov} }$denota covarianza .

En la teoría extremal de grafos , la desigualdad de Cauchy-Schwarz se utiliza para demostrar el teorema de Mantel , que establece que el número de aristas en un grafo libre de triángulos en${\displaystyle n}$vértices está limitado superiormente por${\displaystyle \lfloor {\frac {n^{2}}{4}}\rfloor }$bordes. ^{[ 20 ] [ 21 ]}

Consideremos dos vértices adyacentes cualesquiera.${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$en el gráfico con grados${\displaystyle d(x)}$y${\displaystyle d(y)}$respectivamente. Dado que el grafo no tiene triángulos, los vecindarios de${\displaystyle x}$y${\displaystyle y}$son disjuntos, lo que da${\displaystyle d(x)+d(y)\leq n}$. Sumando esta desigualdad sobre todos los vértices se obtiene lo siguiente.

${\displaystyle \sum _{xy\in E(G)}(d(x)+d(y))\leq \sum _{xy\in E(G)}n}$

Luego, sumamos sobre los vértices en lugar de sobre las aristas.

${\displaystyle \sum _{x\in V(G)}d(x)^{2}\leq n|E|}$

Aplicando la desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene la siguiente desigualdad que relaciona la suma de los cuadrados de los grados con la suma de los grados.

${\displaystyle (\sum _{x\in V(G)}d(x))^{2}\leq n(\sum _{x\in V(G)}d(x)^{2})}$

Encadenando las dos desigualdades anteriores, obtenemos:

${\displaystyle (\sum _{x\in V(G)}d(x))^{2}\leq n^{2}|E|}$

Y luego, aplicando el lema del apretón de manos y reordenando, tenemos que:

${\displaystyle |E|\leq {\frac {n^{2}}{4}}}$

El caso especial de${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {0} }$Se demostró anteriormente, por lo que de ahora en adelante se asume que${\displaystyle \mathbf {v} \neq \mathbf {0} .}$

Dejar $${\displaystyle \mathbf {z}$$ :=\mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} .} Si miramos su longitud, veremos$${\displaystyle {\begin{aligned}\|\mathbf {z} \|^{2}&=\left\langle \mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} ,\mathbf {u} -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\mathbf {v} \right\rangle \\&=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle }{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +{\frac {\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}}{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}}}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle -{\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle }}=\|\mathbf {u} \|^{2}-{\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}\end{aligned}}}$$Dado que la longitud de cualquier vector siempre es no negativa, obtenemos$${\displaystyle {\begin{aligned}\|\mathbf {u} \|^{2}-{\frac {|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}}{\|\mathbf {v} \|^{2}}}=\|\mathbf {z} \|^{2}\geq 0\end{aligned}}}$$La desigualdad de Cauchy-Schwarz se obtiene multiplicando por${\displaystyle \|\mathbf {v} \|^{2}}$y luego tomando la raíz cuadrada. Además, si la relación${\displaystyle \geq }$En la expresión anterior hay en realidad una igualdad, entonces${\displaystyle \|\mathbf {z} \|^{2}=0}$y por lo tanto${\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {0}$ ;} la definición de${\displaystyle \mathbf {z} }$luego establece una relación de dependencia lineal entre${\displaystyle \mathbf {u} }$y${\displaystyle \mathbf {v} .}$Lo contrario se demostró al principio de esta sección, por lo que la demostración está completa.${\displaystyle \blacksquare }$

Consideremos un par arbitrario de vectores.${\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} }$. Definir la función${\displaystyle p:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$definido por${\displaystyle p(t)=\langle t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle }$, dónde${\displaystyle \alpha }$es un número complejo que satisface${\displaystyle |\alpha |=1}$y${\displaystyle \alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |}$. Tal es un${\displaystyle \alpha }$existe ya que si${\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0}$entonces${\displaystyle \alpha }$puede tomarse como 1.

Dado que el producto interno es definido positivo,${\displaystyle p(t)}$solo toma valores reales no negativos. Por otro lado,${\displaystyle p(t)}$puede expandirse utilizando la bilinealidad del producto interno: $${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=\langle t\alpha \mathbf {u} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle t\alpha \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +\langle \mathbf {v} ,t\alpha \mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=t\alpha t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {u} ,\mathbf {u} \rangle +t\alpha \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +t{\overline {\alpha }}\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle +\langle \mathbf {v} ,\mathbf {v} \rangle \\&=\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}t^{2}+2|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |t+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}\end{aligned}}}$$ De este modo,${\displaystyle p}$es un polinomio de grado${\displaystyle 2}$(a menos que${\displaystyle \mathbf {u} =0,}$(que es un caso que se verificó anteriormente). Dado que el signo de${\displaystyle p}$no cambia, el discriminante de este polinomio debe ser no positivo: $${\displaystyle \Delta =4{\bigl (}\,|\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle |^{2}-\Vert \mathbf {u} \Vert ^{2}\Vert \mathbf {v} \Vert ^{2}{\bigr )}\leq 0.}$$ La conclusión es la siguiente. ^{[ 24 ]}

En el caso de igualdad, observe que${\displaystyle \Delta =0}$sucede si y solo si${\displaystyle p(t)={\bigl (}t\Vert \mathbf {u} \Vert +\Vert \mathbf {v} \Vert {\bigr )}^{2}.}$Si${\displaystyle t_{0}=-\Vert \mathbf {v} \Vert /\Vert \mathbf {u} \Vert ,}$entonces${\displaystyle p(t_{0})=\langle t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} ,t_{0}\alpha \mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =0,}$y por lo tanto${\displaystyle \mathbf {v} =-t_{0}\alpha \mathbf {u} .}$