La lista de Schwarz

En la teoría matemática de las funciones especiales , la lista de Schwarz o tabla de Schwarz es la lista de 15 casos hallados por Hermann Schwarz ( 1873 , p. 323) en los que las funciones hipergeométricas pueden expresarse algebraicamente. Más precisamente, es una lista de parámetros que determinan los casos en los que la ecuación hipergeométrica tiene un grupo de monodromía finito , o equivalentemente tiene dos soluciones independientes que son funciones algebraicas . Enumera 15 casos, divididos según la clase de isomorfismo del grupo de monodromía (excluyendo el caso de un grupo cíclico ), y fue derivada por primera vez por Schwarz mediante métodos de geometría analítica compleja. En consecuencia, la afirmación no se expresa directamente en términos de los parámetros que especifican la ecuación hipergeométrica, sino en términos de cantidades utilizadas para describir ciertos triángulos esféricos . 

La importancia más amplia de la tabla, para ecuaciones diferenciales generales de segundo orden en el plano complejo , fue demostrada por Felix Klein , quien probó un resultado que indicaba que los casos de monodromía finita para tales ecuaciones y singularidades regulares podían atribuirse a cambios de variable (mapas analíticos complejos de la esfera de Riemann sobre sí misma) que reducen la ecuación a una forma hipergeométrica. De hecho, hay más: la lista de Schwarz subyace a todas las ecuaciones de segundo orden con singularidades regulares en superficies de Riemann compactas que poseen monodromía finita, mediante una imagen inversa de la ecuación hipergeométrica en la esfera de Riemann mediante un mapa analítico complejo, de grado computable a partir de los datos de la ecuación. ^{[ 1 ] [ 2 ]}

Los números${\displaystyle \lambda,\mu,\nu}$son (hasta permutaciones, cambios de signo y adición de${\displaystyle (\ell ,m,n)\in \mathbb {Z} ^{3}}$con${\displaystyle \ell +m+n}$incluso) las diferencias${\displaystyle 1-c,cab,ba}$de los exponentes de la ecuación diferencial hipergeométrica en los tres puntos singulares${\displaystyle 0,1,\infty }$Son números racionales si y solo si${\displaystyle a,b}$y${\displaystyle c}$son, un punto que importa en los enfoques aritméticos más que geométricos de la teoría.

Una extensión de los resultados de Schwarz fue dada por T. Kimura, quien trató casos donde el componente identidad del grupo de Galois diferencial de la ecuación hipergeométrica es un grupo resoluble . ^{[ 3 ] [ 4 ]} Un resultado general que conecta el grupo de Galois diferencial G y el grupo de monodromía Γ establece que G es la clausura de Zariski de Γ ; este teorema se atribuye en el libro de Matsuda a Michio Kuga . Mediante la teoría general de Galois diferencial , la tabla de Kimura-Schwarz resultante clasifica los casos de integrabilidad de la ecuación por funciones algebraicas y cuadraturas .

Otra lista relevante es la de K. Takeuchi , quien clasificó los grupos triangulares (hiperbólicos) que son grupos aritméticos (85 ejemplos). ^{[ 5 ]}

Émile Picard buscó extender el trabajo de Schwarz en geometría compleja, mediante una función hipergeométrica generalizada , para construir casos de ecuaciones donde la monodromía era un grupo discreto en el grupo unitario proyectivo PU (1, n ). Pierre Deligne y George Mostow utilizaron sus ideas para construir retículos en el grupo unitario proyectivo. Este trabajo recupera en el caso clásico la finitud de la lista de Takeuchi y, mediante una caracterización de los retículos que construyen, que son grupos aritméticos, proporcionó nuevos ejemplos de retículos no aritméticos en PU (1, n ). ^{[ 6 ]}

Baldassari aplicó la universalidad de Klein para analizar soluciones algebraicas de la ecuación de Lamé mediante la lista de Schwarz. ^{[ 7 ]}

Otras funciones hipergeométricas que pueden expresarse algebraicamente, como las de la lista de Schwarz, surgen en la física teórica en el contexto de${\displaystyle T{\overline {T}}}$deformaciones de teorías de gauge bidimensionales. ^{[ 8 ]}

• Triángulo de Schwarz

• Matsuda, Michihiko (1985). Lecciones sobre soluciones algebraicas de ecuaciones diferenciales hipergeométricas (PDF) . Lecciones de matemáticas. Vol.  15. Tokio: Kinokuniya Company Ltd. MR 1104881 . 
• Schwarz, HA (1873). "Ueber diejenigen Fälle in welchen die Gaussische hypergeometrische Reihe eine algebraische Function ihres vierten Elementes darstellt" . Journal für die reine und angewandte Mathematik . 75 : 292–335 . ISSN 0075-4102 . 

• Hacia una lista de Schwarz no lineal (PDF)