La regla de Scott

La regla de Scott es un método para seleccionar el número de intervalos en un histograma . ^{[ 1 ]} La regla de Scott se utiliza ampliamente en software de análisis de datos, incluyendo R , ^{[ 2 ]} Python ^{[ 3 ]} y Microsoft Excel, donde es el método predeterminado de selección de intervalos. ^{[ 4 ]}

Para un conjunto de${\displaystyle n}$observaciones${\displaystyle x_{i}}$dejar${\displaystyle {\hat {f}}(x)}$sea ​​la aproximación del histograma de alguna función${\displaystyle f(x)}$. El error cuadrático medio integrado (IMSE) es

${\displaystyle {\text{IMSE}}=E\left[\int _{-\infty }^{\infty }dx({\hat {f}}(x)-f(x))^{2}\right]}$

Dónde${\displaystyle E[\cdot ]}$denota la expectativa en muchos sorteos independientes de${\displaystyle n}$puntos de datos. Por Taylor expandiendo a primer orden en${\displaystyle h}$, el ancho del contenedor, Scott demostró que el ancho óptimo es

${\displaystyle h^{*}=\left(6/\int _{-\infty }^{\infty }f'(x)^{2}dx\right)^{1/3}n^{-1/3}}$

Esta fórmula es también la base de la regla de Freedman-Diaconis .

Tomando una referencia normal, es decir, asumiendo que${\displaystyle f(x)}$es una distribución normal , la ecuación para${\displaystyle h^{*}}$se convierte

${\displaystyle h^{*}=\left(24{\sqrt {\pi }}\right)^{1/3}\sigma n^{-1/3}\sim 3.5\sigma n^{-1/3}}$

dónde${\displaystyle \sigma }$es la desviación estándar de la distribución normal y se estima a partir de los datos. Con este valor de ancho de intervalo, Scott demuestra que ^{[ 5 ]}

${\displaystyle {\text{IMSE}}\propto n^{-2/3}}$

mostrando la rapidez con la que la aproximación del histograma se aproxima a la distribución real a medida que aumenta el número de muestras.

Otro enfoque desarrollado por Terrell y Scott ^{[ 6 ]} se basa en la observación de que, entre todas las densidades${\displaystyle g(x)}$definido en un intervalo compacto , por ejemplo${\displaystyle |x|<1/2}$, con derivadas que son absolutamente continuas , la densidad que minimiza${\displaystyle \int _{\infty }^{\infty }dx(g^{(k)}(x))^{2}}$es

${\displaystyle f_{k}(x)={\begin{cases}{\frac {(2k+1)!}{2^{2k}(k!)^{2}}}(1-4x^{2})^{k},\quad &|x|\leq 1/2\\0&|x|>1/2\end{cases}}}$

Usando esto con${\displaystyle k=1}$en la expresión para${\displaystyle h^{*}}$proporciona un límite superior en el valor del ancho del contenedor que es

${\displaystyle h_{TS}^{*}=\left({\frac {4}{n}}\right)^{1/3}.}$

Así pues, para funciones que satisfacen las condiciones de continuidad, al menos

${\displaystyle k_{TS}={\frac {b-a}{h^{*}}}=\left(2n\right)^{1/3}}$

Se deben utilizar contenedores. ^{[ 7 ]}

Esta regla también se llama regla sobresuavizada ^{[ 7 ]} o regla de Rice [ ^{8 ]} llamada así porque ambos autores trabajaron en la ^Universidad de Rice . La regla de Rice se suele informar con el factor de 2 fuera de la raíz cúbica ,${\displaystyle 2\left(n\right)^{1/3}}$y puede considerarse una regla diferente. La principal diferencia con la regla de Scott es que esta regla no presupone que los datos tengan una distribución normal y el ancho del intervalo solo depende del número de muestras, no de ninguna propiedad de los datos.

En general${\displaystyle \left(2n\right)^{1/3}}$no es un número entero, por lo tanto${\displaystyle \lceil \left(2n\right)^{1/3}\rceil }$se utiliza donde${\displaystyle \lceil \cdot \rceil }$denota la función techo .