El truco de Scott

En teoría de conjuntos , el truco de Scott es un método para dar una definición de clases de equivalencia para relaciones de equivalencia en una clase propia (Jech 2003:65) haciendo referencia a niveles de la jerarquía acumulativa .

El método se basa en el axioma de regularidad , pero no en el axioma de elección . Puede utilizarse para definir representantes de números ordinales en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF) sin el axioma de elección (Forster 2003:182). El método fue introducido por Dana Scott ( 1955 ) . 

Más allá del problema de definir representantes de conjuntos para números ordinales, el truco de Scott puede utilizarse para obtener representantes para números cardinales y, de forma más general, para tipos de isomorfismo , por ejemplo, tipos de orden de conjuntos linealmente ordenados (Jech 2003:65). Se considera indispensable (incluso en presencia del axioma de elección) al tomar ultrapotencias de clases propias en teoría de modelos (Kanamori 1994:47).

El uso del truco de Scott para los números cardinales muestra cómo se emplea habitualmente este método. La definición inicial de un número cardinal es una clase de equivalencia de conjuntos, donde dos conjuntos son equivalentes si existe una biyección entre ellos. La dificultad reside en que casi todas las clases de equivalencia de esta relación son clases propias , por lo que las clases de equivalencia en sí mismas no pueden manipularse directamente en teorías de conjuntos, como la teoría de conjuntos de Zermelo - Fraenkel, que solo se ocupan de conjuntos. En el contexto de la teoría de conjuntos, suele ser deseable disponer de conjuntos que sean representantes de las clases de equivalencia. Estos conjuntos se consideran entonces números cardinales por definición.

En la teoría de conjuntos de Zermelo - Fraenkel, con el axioma de elección , una forma de asignar representantes a los números cardinales es asociar cada número cardinal con el menor número ordinal de la misma cardinalidad. Estos ordinales especiales son los números ℵ . Pero si no se asume el axioma de elección, para algunos números cardinales puede que no sea posible encontrar tal número ordinal, y por lo tanto, los números cardinales de esos conjuntos no tienen ningún número ordinal como representante.

El truco de Scott asigna representantes de manera diferente, utilizando el hecho de que para cada conjunto${\displaystyle A}$hay un rango mínimo${\displaystyle V_{\alpha }}$en la jerarquía acumulativa cuando algún conjunto de la misma cardinalidad que${\displaystyle A}$aparece. Así se puede definir el representante del número cardinal de${\displaystyle A}$ser el conjunto de todos los conjuntos de rango${\displaystyle V_{\alpha }}$que tienen la misma cardinalidad que${\displaystyle A}$Esta definición asigna un representante a cada número cardinal, incluso cuando no todos los conjuntos pueden ordenarse correctamente (una suposición equivalente al axioma de elección). Puede llevarse a cabo en la teoría de conjuntos de Zermelo - Fraenkel, sin utilizar el axioma de elección, pero haciendo un uso esencial del axioma de regularidad .

Dejar${\displaystyle \sim }$Sea una relación de equivalencia de conjuntos.${\displaystyle a}$ser un conjunto y${\displaystyle [a]}$su clase de equivalencia con respecto a${\displaystyle \sim }$. Si${\displaystyle V\cap [a]}$es no vacío, podemos definir un conjunto que representa${\displaystyle [a]}$, incluso si${\displaystyle [a]}$es una clase propia. Es decir, existe un ordinal mínimo.${\displaystyle \alpha }$, de tal manera que${\displaystyle V_{\alpha }\cap [a]}$no es vacío. Esta intersección es un conjunto, por lo que podemos tomarlo como el representante de${\displaystyle [a]}$No utilizamos regularidad para esta construcción.

El axioma de regularidad es equivalente a${\displaystyle a\in V}$para todos los conjuntos${\displaystyle a}$(véase Regularidad, la jerarquía acumulativa y los tipos ). Así pues, en particular, si asumimos el axioma de regularidad, entonces${\displaystyle V\cap [a]}$no estará vacío para todos los conjuntos${\displaystyle a}$y relaciones de equivalencia${\displaystyle \sim }$, desde${\displaystyle a\in V\cap [a]}$En resumen: dado el axioma de regularidad, podemos encontrar representantes de cada clase de equivalencia, para cualquier relación de equivalencia.

• Thomas Forster (2003), Lógica, inducción y conjuntos , Cambridge University Press. ISBN 0-521-53361-9
• Thomas Jech , Teoría de conjuntos , 3.ª edición del milenio (revisada), 2003, Springer Monographs in Mathematics, Springer, ISBN 3-540-44085-2
• Akihiro Kanamori : El infinito superior. Grandes cardinales en la teoría de conjuntos desde sus inicios . , Perspectivas en lógica matemática. Springer-Verlag, Berlín, 1994. xxiv+536 pp.
• Scott, Dana (1955), "Definiciones por abstracción en la teoría axiomática de conjuntos" (PDF) , Boletín de la Sociedad Matemática Americana , 61 (5): 442, doi : 10.1090/S0002-9904-1955-09941-5