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Eje helicoidal

Una hélice sobre un eje helicoidal Un eje helicoidal ( o eje de torsión ) es una línea que es simultáneamente el eje de rotación y la línea a lo largo de la cual ocurre la trasl...

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Una hélice sobre un eje helicoidal

Un eje helicoidal ( o eje de torsión ) es una línea que es simultáneamente el eje de rotación y la línea a lo largo de la cual ocurre la traslación de un cuerpo. El teorema de Chasles muestra que cada desplazamiento euclidiano en el espacio tridimensional tiene un eje helicoidal, y el desplazamiento puede descomponerse en una rotación alrededor de este eje y un deslizamiento a lo largo del mismo. [ 1 ] [ 2 ]

Las coordenadas de Plücker se utilizan para ubicar un eje de tornillo en el espacio y consisten en un par de vectores tridimensionales. El primer vector identifica la dirección del eje y el segundo, su posición. El caso especial en que el primer vector es cero se interpreta como una traslación pura en la dirección del segundo vector. Cada par de vectores del álgebra de tornillos, también conocida como teoría de tornillos , está asociado a un eje de tornillo . [ 3 ]

El movimiento espacial de un cuerpo puede representarse mediante un conjunto continuo de desplazamientos. Dado que cada uno de estos desplazamientos tiene un eje helicoidal, el movimiento tiene asociada una superficie reglada conocida como superficie helicoidal . Esta superficie no es la misma que la axode , que se traza mediante los ejes helicoidales instantáneos del movimiento de un cuerpo.El eje helicoidal instantáneo , o eje de tornillo instantáneo (EHI), es el eje del campo helicoidal generado por las velocidades de cada punto de un cuerpo en movimiento.

Cuando un desplazamiento espacial se especializa en un desplazamiento planar, el eje helicoidal se convierte en el polo de desplazamiento , y el eje helicoidal instantáneo se convierte en el polo de velocidad , o centro instantáneo de rotación , también llamado centro instantáneo . El término centro también se usa para un polo de velocidad, y el lugar geométrico de estos puntos para un movimiento planar se llama centroide . [ 4 ]

Historia

La prueba de que un desplazamiento espacial puede descomponerse en una rotación alrededor de una línea y una traslación a lo largo de ella se atribuye a Michel Chasles en 1830. [ 5 ] Recientemente, se ha identificado el trabajo de Giulio Mozzi como una obra que presenta un resultado similar en 1763. [ 6 ] [ 7 ]

Simetría del eje helicoidal

La hélice de Boerdijk-Coxeter es un ejemplo de simetría de eje helicoidal no periódica.

Un desplazamiento de tornillo (también conocido como traslación rotacional ) es la combinación de una rotación de un ángulo φ alrededor de un eje (denominado eje de tornillo ) con una traslación de una distancia d a lo largo de este eje. Una dirección de rotación positiva suele corresponder a la dirección de traslación según la regla de la mano derecha . Esto significa que si la rotación es en sentido horario, el desplazamiento se produce alejándose del observador. Excepto para φ = 180°, es necesario distinguir un desplazamiento de tornillo de su imagen especular . A diferencia de las rotaciones, una operación de tornillo dextrógira y una levógira generan grupos diferentes.

La combinación de una rotación alrededor de un eje y una traslación en una dirección perpendicular a dicho eje constituye una rotación alrededor de un eje paralelo. Sin embargo, una operación de tornillo con un vector de traslación distinto de cero a lo largo del eje no puede reducirse de esta manera. Por lo tanto, el efecto de una rotación combinada con cualquier traslación es, en general, una operación de tornillo, siendo casos especiales la traslación pura, la rotación pura y la identidad. En conjunto, estas son todas las isometrías directas en 3D .

3 1 eje helicoidal en la estructura cristalina del telurio

En cristalografía , la simetría de eje helicoidal es una combinación de rotación alrededor de un eje y traslación paralela a ese eje que deja el cristal inalterado. Si φ = 360 ° / n para algún entero positivo n , entonces la simetría de eje helicoidal implica simetría traslacional con un vector de traslación que es n veces el desplazamiento helicoidal.

Aplicable a los grupos espaciales es una rotación de 360 ° / n alrededor de un eje , combinada con una traslación a lo largo del eje por un múltiplo de la distancia de simetría traslacional, dividido por n . Este múltiplo se indica con un subíndice. Así, 6 3 es una rotación de 60° combinada con una traslación de la mitad del vector de la red, lo que implica que también hay simetría rotacional triple alrededor de este eje. Las posibilidades son 2 1 , 3 1 , 4 1 , 4 2 , 6 1 , 6 2 , y 6 3 , y los enantiomórficos 3 2 , 4 3 , 6 4 , y 6 5 . [ 8 ]

Considerando un eje de tornillo n m , si g es el máximo común divisor de n y m , entonces también hay un eje de rotación g -ésimo. Cuando se han realizado ⁠ n / g ⁠ operaciones de tornillo, el desplazamiento será ⁠ m / g ⁠ , lo que, al ser un número entero, significa que uno se ha movido a un punto equivalente en la red, mientras realiza una rotación de ⁠ 360° / g ⁠ . Así, 4 2 , 6 2 y 6 4 crean ejes de rotación dobles, mientras que 6 3 crea un eje triple.

Un grupo de isometrías de ejes helicoidales no discretos contiene todas las combinaciones de una rotación alrededor de algún eje y una traslación proporcional a lo largo del eje (en el estriado , la constante de proporcionalidad se llama tasa de torsión ); en general, esto se combina con isometrías rotacionales de orden k alrededor del mismo eje ( k ≥ 1); el conjunto de imágenes de un punto bajo las isometrías es una hélice de orden k ; además, puede haber una rotación de orden 2 alrededor de un eje que se interseca perpendicularmente y, por lo tanto, una hélice de orden k de tales ejes.

Eje helicoidal de un desplazamiento espacial

argumento geométrico

Sea D  : R 3 → R 3 un movimiento rígido de R 3 que preserva la orientación . El conjunto de estas transformaciones es un subgrupo de movimientos euclidianos conocido como el grupo euclidiano especial SE(3). Estos movimientos rígidos se definen mediante transformaciones de x en R 3 dadas por

D(incógnita)=A(incógnita)+d{\displaystyle D(\mathbf {x} )=A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} }

que consiste en una rotación tridimensional A seguida de una traslación mediante el vector d .

Una rotación tridimensional A tiene un único eje que define una línea L. Sea S el vector unitario a lo largo de esta línea , de modo que el vector de traslación d se pueda resolver en una suma de dos vectores, uno paralelo y otro perpendicular al eje L , es decir,

d=dL+d⊥,dL=(d⋅S)S,d⊥=d−dL.{\displaystyle \mathbf {d} =\mathbf {d} _{L}+\mathbf {d} _{\perp },\quad \mathbf {d} _{L}=(\mathbf {d} \cdot \mathbf {S} )\mathbf {S} ,\quad \mathbf {d} _{\perp }=\mathbf {d} -\mathbf {d} _{L}.}

En este caso, el movimiento rígido toma la forma

D(incógnita)=(A(incógnita)+d⊥)+dL.{\displaystyle D(\mathbf {x} )=(A(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _ {\perp })+\mathbf {d} _{L}.}

Ahora, el movimiento rígido que preserva la orientación D * = A ( x ) + d ⊥ transforma todos los puntos de R 3 de modo que permanezcan en planos perpendiculares a L . Para un movimiento rígido de este tipo hay un único punto c en el plano P perpendicular a L que pasa por 0 , tal que

D∗(do)=A(do)+d⊥=do.{\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _ {\perp }=\mathbf {C} .}

El punto C se puede calcular como

do=[I−A]−1d⊥,{\displaystyle \mathbf {C} =[IA]^{-1}\mathbf {d} _{\perp },}

porque d ⊥ no tiene un componente en la dirección del eje de A.

Un movimiento rígido D * con un punto fijo debe ser una rotación alrededor del eje L c que pasa por el punto c . Por lo tanto, el movimiento rígido

D(incógnita)=D∗(incógnita)+dL,{\displaystyle D(\mathbf {x} )=D^{*}(\mathbf {x} )+\mathbf {d} _{L},}

Consiste en una rotación alrededor de la línea L c seguida de una traslación por el vector d L en la dirección de la línea L c .

Conclusión: todo movimiento rígido de R₃ es el resultado de una rotación de R₃ alrededor de una línea L<sub> c</sub> seguida de una traslación en la dirección de dicha línea. La combinación de una rotación alrededor de una línea y una traslación a lo largo de la misma se denomina movimiento helicoidal.

Calcular un punto en el eje del tornillo

Un punto C en el eje del tornillo satisface la ecuación: [ 9 ]

D∗(do)=A(do)+d⊥=do.{\displaystyle D^{*}(\mathbf {C} )=A(\mathbf {C} )+\mathbf {d} _ {\perp }=\mathbf {C} .}

Resuelve esta ecuación para C utilizando la fórmula de Cayley para una matriz de rotación.

[A]=[I−B]−1[I+B],{\displaystyle [A]=[IB]^{-1}[I+B],}

donde [B] es la matriz antisimétrica construida a partir del vector de Rodrigues.

b=broncearse⁡ϕ2S,{\displaystyle \mathbf {b} =\tan {\frac {\phi }{2}}\mathbf {S} ,}

de tal manera que

[B]y=b×y.{\displaystyle [B]\mathbf {y} =\mathbf {b} \times \mathbf {y} .}

Utilice esta forma de la rotación A para obtener

do=[I−B]−1[I+B]do+d⊥,[I−B]do=[I+B]do+[I−B]d⊥,{\displaystyle \mathbf {C} =[IB]^{-1}[I+B]\mathbf {C} +\mathbf {d} _{\perp },\quad [IB]\mathbf {C} =[I+B]\mathbf {C} +[IB]\mathbf {d} _{\perp },}

que se convierte

−2[B]do=[I−B]d⊥.{\displaystyle -2[B]\mathbf {C} =[IB]\mathbf {d} _{\perp }.}

Esta ecuación se puede resolver para C en el eje del tornillo P (t) para obtener,

do=b×d−b×(b×d)2b⋅b.{\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {b} \times \mathbf {d} -\mathbf {b} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {d} )}{2\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} }}.}

El eje helicoidal P (t) = C + t S de este desplazamiento espacial tiene las coordenadas de Plücker S = ( S , C × S ) . [ 9 ]

Cuaternión dual

El eje helicoidal aparece en la formulación de cuaternión dual de un desplazamiento espacial D = ([A], d ) . El cuaternión dual se construye a partir del vector dual S = ( S , V ) que define el eje helicoidal y el ángulo dual ( φ , d ) , donde φ es la rotación alrededor y d el deslizamiento a lo largo de este eje, que define el desplazamiento D para obtener,

S^=porque⁡φ^2+pecado⁡φ^2S.{\displaystyle {\hat {S}}=\cos {\frac {\hat {\varphi }}{2}}+\sin {\frac {\hat {\varphi }}{2}}{\mathsf {S}}.}

Un desplazamiento espacial de puntos q representado como un cuaternión vectorial puede definirse utilizando cuaterniones como función de mapeo.

q↦SqS−1+d{\displaystyle \mathbf {q} \mapsto S\mathbf {q} S^{-1}+\mathbf {d} }

donde d es un cuaternión vectorial de traslación y S es un cuaternión unitario, también llamado versor , dado por

S=porque⁡θ+Specado⁡θ,  S2=−1,{\displaystyle S=\cos \theta +\mathbf {S} \sin \theta ,\ \ \mathbf {S} ^{2}=-1,}

que define una rotación de 2 θ alrededor de un eje S.

En el grupo euclidiano propio E + (3) una rotación puede conjugarse con una traslación para moverla a un eje de rotación paralelo. Dicha conjugación, utilizando homografías de cuaterniones , produce el eje helicoidal apropiado para expresar el desplazamiento espacial dado como un desplazamiento helicoidal, de acuerdo con el teorema de Chasles .

Mecánica

El movimiento instantáneo de un cuerpo rígido puede ser la combinación de una rotación alrededor de un eje (el eje helicoidal) y una traslación a lo largo de ese eje. Este movimiento helicoidal se caracteriza por el vector de velocidad de traslación y el vector de velocidad angular en la misma dirección o en la opuesta. Si estos dos vectores son constantes y se encuentran a lo largo de uno de los ejes principales del cuerpo, no se necesitan fuerzas externas para este movimiento (movimiento y rotación). Por ejemplo, si se ignoran la gravedad y la resistencia del aire, este es el movimiento de una bala disparada desde un cañón estriado .

Biomecánica

Este parámetro se usa frecuentemente en biomecánica para describir el movimiento de las articulaciones del cuerpo. Para cualquier período de tiempo, el movimiento articular puede considerarse como el desplazamiento de un punto en una superficie articular con respecto a la superficie adyacente (generalmente distal con respecto a proximal ). La traslación y las rotaciones totales a lo largo de la trayectoria del movimiento se definen como las integrales temporales de las velocidades instantáneas de traslación y rotación en la articulación interfalángica proximal (AIP) para un tiempo de referencia dado. [ 10 ]

En cualquier plano , la trayectoria formada por las ubicaciones del eje instantáneo de rotación (EIR) en movimiento se conoce como el "centroide" y se utiliza en la descripción del movimiento articular.

Véase también

Referencias

  1. ↑ Bottema, O., y B. Roth, Cinemática teórica, Dover Publications (septiembre de 1990), enlace a Google Books
  2. ↑ Hunt, KH, Geometría cinemática de mecanismos, Oxford University Press, 1990
  3. ↑ RS Ball, Tratado sobre la teoría de los tornillos, Hodges, Dublín, 1876, Apéndice 1, University Press, Cambridge, 1900, pág. 510
  4. ↑ Homer D. Eckhardt, Diseño cinemático de máquinas y mecanismos , McGraw-Hill (1998), pág. 63 ISBN 0-07-018953-6en línea en Google Books
  5. ^ M. Chasles, Note sur les Propriétés Generales du Système de Deux Corps Semblables entr'eux, Bullettin de Sciences Mathématiques, Astronomiques Physiques et Chimiques, Baron de Ferussac, París, 1830, págs. 321 ± 326
  6. ^ G. Mozzi, Discorso matematico sopra il rotamento momentaneo dei corpi, Stamperia di Donato Campo, Nápoles, 1763
  7. ↑ M. Ceccarelli, Eje helicoidal definido por Giulio Mozzi en 1763 y primeros estudios sobre el movimiento helicoidal, Mechanism and Machine Theory 35 (2000) 761-770
  8. ^ Walter Borchardt-Ott (1995). Cristalografía . Springer-Verlag. ISBN 3-540-59478-7.
  9. 1 2 J. M. McCarthy y GS Soh, Diseño geométrico de mecanismos articulados , 2.ª edición, Springer 2010
  10. ↑ Woltring HJ, de Lange A, Kauer JMG, Huiskes R. 1987 Estimación instantánea de ejes helicoidales mediante splines naturales con validación cruzada. En: Bergmann G, Kölbel R, Rohlmann A (Editores). Biomecánica: Investigación básica y aplicada. Springer, pp. 121-128. Texto completo