Ecuación diferencial

En matemáticas , una ecuación diferencial es una ecuación que relaciona una o más funciones desconocidas y sus derivadas . ^{[ 1 ]} En las aplicaciones, las funciones generalmente representan magnitudes físicas, las derivadas representan sus tasas de cambio y la ecuación diferencial define una relación entre ambas. Estas relaciones son comunes en modelos matemáticos y leyes científicas ; por lo tanto, las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel fundamental en muchas disciplinas, como la ingeniería , la física , la economía y la biología .

El estudio de las ecuaciones diferenciales consiste principalmente en el estudio de sus soluciones (el conjunto de funciones que satisfacen cada ecuación) y de las propiedades de dichas soluciones. Solo las ecuaciones diferenciales más simples pueden resolverse mediante fórmulas explícitas; sin embargo, muchas propiedades de las soluciones de una ecuación diferencial dada pueden determinarse sin necesidad de calcularlas con exactitud.

A menudo, cuando no se dispone de una expresión analítica para las soluciones, estas pueden aproximarse numéricamente mediante ordenadores, y se han desarrollado numerosos métodos numéricos para determinar soluciones con un grado de precisión determinado. La teoría de sistemas dinámicos analiza los aspectos cualitativos de las soluciones, como su comportamiento promedio durante un intervalo de tiempo prolongado.

Las ecuaciones diferenciales surgieron con la invención del cálculo por Isaac Newton y Gottfried Leibniz . En el capítulo 2 de su obra de 1671, Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum , ^{[ 2 ]} Newton enumeró tres tipos de ecuaciones diferenciales:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x_{1}{\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}&+x_{2}{\frac {\partial y}{\partial x_{2}}}=y\end{aligned}}}$

En todos estos casos, y es una función desconocida de x (o de x₁ y x₂ ), y f es una función _dada . Resolvió estos ejemplos y otros utilizando series infinitas y analizó la no unicidad de las soluciones _.

Jacob Bernoulli propuso la ecuación diferencial de Bernoulli en 1695. ^{[ 3 ]} Esta es una ecuación diferencial ordinaria de la forma

${\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}$

para lo cual Leibniz obtuvo soluciones al año siguiente simplificándolo. ^{[ 4 ]}

Históricamente, el problema de una cuerda vibrante como la de un instrumento musical fue estudiado por Jean le Rond d'Alembert , Leonhard Euler , Daniel Bernoulli y Joseph-Louis Lagrange . ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} En 1746, d'Alembert descubrió la ecuación de onda unidimensional , y diez años después Euler descubrió la ecuación de onda tridimensional. ^{[ 9 ]}

La ecuación de Euler-Lagrange fue desarrollada en la década de 1750 por Euler y Lagrange en el marco de sus estudios sobre el problema de la tautócrona . Este problema consiste en determinar la trayectoria de una partícula ponderada hasta un punto fijo en un tiempo determinado, independientemente de su punto de partida. Lagrange resolvió este problema en 1755 y envió la solución a Euler. Ambos perfeccionaron el método de Lagrange y lo aplicaron a la mecánica , lo que dio lugar a la formulación de la mecánica lagrangiana .

En 1822, Fourier publicó su obra sobre el flujo de calor en Théorie analytique de la chaleur ( Teoría analítica del calor ), ^{[ 10 ]} en la que basó su razonamiento en la ley de enfriamiento de Newton , es decir, que el flujo de calor entre dos moléculas adyacentes es proporcional a la diferencia extremadamente pequeña de sus temperaturas. En este libro se encontraba la propuesta de Fourier de su ecuación del calor para la difusión conductiva del calor. Esta ecuación diferencial parcial es ahora una parte común del currículo de física matemática.

En mecánica clásica , el movimiento de un cuerpo se describe mediante su posición y velocidad en función del tiempo. Las leyes de Newton permiten expresar estas variables de forma dinámica (dadas la posición, la velocidad y las diversas fuerzas que actúan sobre el cuerpo) como una ecuación diferencial para la posición desconocida del cuerpo en función del tiempo.

En algunos casos, esta ecuación diferencial (llamada ecuación de movimiento ) puede resolverse explícitamente.

Un ejemplo de modelado de un problema del mundo real mediante ecuaciones diferenciales es la determinación de la velocidad de una pelota que cae por el aire, considerando únicamente la gravedad y la resistencia del aire. La aceleración de la pelota hacia el suelo es la aceleración debida a la gravedad menos la desaceleración debida a la resistencia del aire. La gravedad se considera constante, y la resistencia del aire puede modelarse como proporcional a la velocidad de la pelota. Esto significa que la aceleración de la pelota, que es una derivada de su velocidad, depende de la velocidad (y la velocidad depende del tiempo). Hallar la velocidad en función del tiempo implica resolver una ecuación diferencial y verificar su validez.

Las ecuaciones diferenciales se pueden clasificar de diversas maneras. Además de describir las propiedades de la ecuación en sí, estas clases de ecuaciones diferenciales pueden ayudar a elegir el método de solución. Las distinciones más comunes incluyen si la ecuación es ordinaria o parcial, lineal o no lineal, y homogénea o heterogénea. Esta lista no es exhaustiva; existen muchas otras propiedades y subclases de ecuaciones diferenciales que pueden ser muy útiles en contextos específicos.

La solución general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden incluye una constante, que puede considerarse como una constante de integración. De manera similar, la solución general de una${\displaystyle n}$EDO de orden n contiene${\displaystyle n}$constantes.

Para determinar los valores de estas constantes, se deben proporcionar condiciones adicionales. Si la variable independiente corresponde al tiempo, esta información se presenta como condiciones iniciales . Por ejemplo, para una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden que describe el movimiento de una partícula, las condiciones iniciales serían típicamente la posición y la velocidad de la partícula en el instante inicial. La ecuación diferencial ordinaria y sus condiciones iniciales conforman lo que se conoce como un problema de valor inicial .

En el caso de una variable independiente espacial, estas condiciones se conocen generalmente como condiciones de contorno. Estas se especifican a menudo para diferentes valores de la variable independiente. Un ejemplo es el movimiento de una cuerda vibrante fija en dos extremos. En este caso, la ecuación diferencial ordinaria y las condiciones de contorno dan lugar a un problema de valores en la frontera .

En términos más generales, el término " condiciones iniciales" se usa normalmente cuando las condiciones se especifican para el mismo valor de la variable independiente, y el término " condiciones de contorno" se usa cuando se especifican para valores diferentes de la variable independiente. En ambos casos, el número de condiciones iniciales o de contorno debe coincidir con el orden de la ecuación diferencial.

Para una ecuación diferencial dada, las cuestiones de si las soluciones son únicas o si existen en absoluto son temas de gran interés.

Para un problema de valor inicial de primer orden, el teorema de existencia de Peano proporciona un conjunto de circunstancias en las que existe una solución. Dado cualquier punto${\displaystyle (a,b)}$En el plano xy, defina una región rectangular.${\displaystyle Z}$, de tal manera que${\displaystyle Z=[l,m]\times [n,p]}$y${\displaystyle (a,b)}$está en el interior de${\displaystyle Z}$Si se nos da una ecuación diferencial${\estilo de texto {\frac {dy}{dx}}=g(x,y)}$y la condición de que${\displaystyle y=b}$cuando${\displaystyle x=a}$, entonces existe localmente una solución a este problema si${\displaystyle g(x,y)}$es continuo en${\displaystyle Z}$Esta solución existe en algún intervalo con su centro en${\displaystyle a}$La solución puede no ser única. (Véase la ecuación diferencial ordinaria para otros resultados).

Sin embargo, esto solo nos ayuda con problemas de valor inicial de primer orden. Supongamos que tenemos un problema de valor inicial lineal de orden n:

${\displaystyle f_{n}(x){\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}+\cdots +f_{1}(x){\frac {dy}{dx}}+f_{0}(x)y=g(x)}$

de tal manera que

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x_{0})&=y_{0},&y'(x_{0})&=y'_{0},&y''(x_{0})&=y''_{0},&\ldots \end{aligned}}}$

Para cualquier valor distinto de cero${\displaystyle f_{n}(x)}$, si${\displaystyle \{f_{0},f_{1},\ldots \}}$y${\displaystyle g}$son continuos en algún intervalo que contiene${\displaystyle x_{0}}$,${\displaystyle y}$Existe y es único. ^{[ 15 ]}

• Una ecuación diferencial con retardo (EDR) es una ecuación para una función de una sola variable, generalmente llamada tiempo , en la que la derivada de la función en un momento determinado se da en términos de los valores de la función en momentos anteriores.
• Las ecuaciones integrales pueden considerarse como el análogo de las ecuaciones diferenciales, donde en lugar de la ecuación que involucra derivadas, la ecuación contiene integrales .
• Una ecuación integro-diferencial (EID) es una ecuación que combina aspectos de una ecuación diferencial y una ecuación integral.
• Una ecuación diferencial estocástica (EDE) es una ecuación en la que la cantidad desconocida es un proceso estocástico y la ecuación involucra algunos procesos estocásticos conocidos, por ejemplo, el proceso de Wiener en el caso de las ecuaciones de difusión.
• Una ecuación diferencial parcial estocástica (EDPE) es una ecuación que generaliza las EDE para incluir procesos de ruido espacio-temporales, con aplicaciones en la teoría cuántica de campos y la mecánica estadística .
• Una ecuación pseudodiferencial ultramétrica es una ecuación que contiene números p-ádicos en un espacio ultramétrico . Los modelos matemáticos que involucran ecuaciones pseudodiferenciales ultramétricas utilizan operadores pseudodiferenciales en lugar de operadores diferenciales .
• Una ecuación diferencial algebraica (EDA) es una ecuación diferencial que comprende términos diferenciales y algebraicos, dados en forma implícita.

Las ecuaciones diferenciales están estrechamente relacionadas con las ecuaciones en diferencias , en las que la variable independiente solo toma valores discretos y la ecuación relaciona el valor de la función desconocida en un punto con sus valores en puntos cercanos. Muchos métodos numéricos para ecuaciones diferenciales, como el método de Euler , implican la aproximación de la solución de una ecuación diferencial mediante la solución de una ecuación en diferencias correspondiente.

El estudio de las ecuaciones diferenciales es un campo amplio en matemáticas puras y aplicadas , física e ingeniería . Todas estas disciplinas se ocupan de las propiedades de las ecuaciones diferenciales de diversos tipos. Las matemáticas puras se centran en la existencia y unicidad de soluciones, mientras que las matemáticas aplicadas se ocupan de encontrar soluciones, ya sea de forma directa o aproximada, y de estudiar su comportamiento. Las ecuaciones diferenciales desempeñan un papel importante en la modelización de prácticamente cualquier proceso físico, técnico o biológico, desde el movimiento celeste hasta el diseño de puentes y las interacciones entre neuronas. Las ecuaciones diferenciales, como las que se utilizan para resolver problemas de la vida real, pueden no tener soluciones analíticas . En su lugar, las soluciones pueden aproximarse mediante métodos numéricos .

Muchas leyes fundamentales de la física y la química pueden formularse como ecuaciones diferenciales. En biología y economía , las ecuaciones diferenciales se utilizan para modelar el comportamiento de sistemas complejos . La teoría matemática de las ecuaciones diferenciales se desarrolló inicialmente junto con las ciencias donde se originaron y donde se aplicaron sus resultados. Sin embargo, diversos problemas, a veces provenientes de campos científicos muy distintos, pueden dar lugar a ecuaciones diferenciales idénticas. En estos casos, la teoría matemática subyacente a las ecuaciones puede considerarse un principio unificador de diversos fenómenos. Por ejemplo, consideremos la propagación de la luz y el sonido en la atmósfera, y de las olas en la superficie de un estanque. Todas ellas pueden describirse mediante la misma ecuación diferencial parcial de segundo orden , la ecuación de onda , que nos permite pensar en la luz y el sonido como formas de ondas, muy parecidas a las olas que conocemos en el agua. La conducción del calor, cuya teoría fue desarrollada por Joseph Fourier , se rige por otra ecuación diferencial parcial de segundo orden, la ecuación del calor . Resulta que muchos procesos de difusión , aunque aparentemente diferentes, se describen mediante la misma ecuación.

La cantidad de ecuaciones diferenciales que han recibido un nombre en diversas áreas científicas demuestra la importancia del tema. Véase la Lista de ecuaciones diferenciales con nombre .

Algunos programas de CAS pueden resolver ecuaciones diferenciales. Estos son los comandos que se utilizan en los programas más destacados:

• Arce : ^{[ 16 ]}dsolve
• Mathematica : ^{[ 17 ]}DSolve[]
• Máxima : ^{[ 18 ]}ode2(equation, y, x)
• SageMath : ^{[ 19 ]}desolve()
• SymPy : ^{[ 20 ]}sympy.solvers.ode.dsolve(equation)
• Xcas : ^{[ 21 ]}desolve(y'=k*y,y)

• Abbott, P.; Neill, Hugh (2003). Cálculo . Londres; Chicago: Hodder & Stoughton Educational; Contemporary Books . págs. 266–277 . ISBN  978-0-07-142128-7.
• Blanchard, Paul (2006). Manual de soluciones para estudiantes de Ecuaciones diferenciales de Blanchard, Devaney y Hall (3.ª  ed.). Belmont, CA: Brooks/Cole Thomson Learning. ISBN 978-0-495-01461-4.
• Boyce, William E.; DiPrima, Richard C .; Meade, Douglas B. (2017). Ecuaciones diferenciales elementales y problemas de contorno (11.ª  ed.). Hoboken, NJ: John Wiley & Sons. ISBN 978-1-119-44376-6.
• Coddington, EA ; Levinson, N. (1955). Teoría de las ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: McGraw-Hill.
• Ince, EL (1956). Ecuaciones diferenciales ordinarias . Nueva York: Dover.
• Johnson, W. (1913). Tratado sobre ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales . John Wiley and Sons.En la Colección Histórica de Matemáticas de la Universidad de Michigan
• Polyanin, AD; Zaitsev, VF (2003). Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2.ª  ed.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
• Porter, Ronald I. (1978). «XIX Ecuaciones diferenciales». Análisis elemental adicional (4.ª  ed.). Londres: Bell & Hyman . ISBN 978-0-7135-1594-7.
• Teschl, Gerald (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias y sistemas dinámicos . Providence, RI: American Mathematical Society . ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Zwillinger, Daniel (2014). Manual de ecuaciones diferenciales (2.ª  ed.). Burlington: Elsevier Science . ISBN 978-1-4832-6396-0.

• Contenido multimedia relacionado con ecuaciones diferenciales en Wikimedia Commons.
• Vídeos de las clases sobre ecuaciones diferenciales del MIT Open CourseWare
• Apuntes en línea / Ecuaciones diferenciales Paul Dawkins, Universidad de Lamar
• Ecuaciones diferenciales , Matemáticas SOS
• Introducción al modelado mediante ecuaciones diferenciales. Introducción al modelado por medio de ecuaciones diferenciales, con observaciones críticas.
• Asistente matemático en la herramienta web de ecuaciones diferenciales ordinarias simbólicas, utilizando Maxima.
• Soluciones exactas de ecuaciones diferenciales ordinarias
• Colección de modelos ODE y DAE de sistemas físicos. Archivada el 19/12/2008 en Wayback Machine. Modelos MATLAB.
• Notas sobre ecuaciones diferenciales: Ecuaciones diferenciales para ingenieros. Un libro de texto introductorio sobre ecuaciones diferenciales de Jiri Lebl, de la UIUC.
• Lista de reproducción de vídeos de Khan Academy sobre ecuaciones diferenciales. Temas que se tratan en un curso de primer año de ecuaciones diferenciales.
• Lista de reproducción de vídeos de MathDiscuss sobre ecuaciones diferenciales