Subasta de Vickrey

Una subasta Vickrey o subasta de segundo precio a sobre cerrado ( SBSPA ) es un tipo de subasta a sobre cerrado . Los postores presentan ofertas por escrito sin conocer las ofertas de los demás participantes. Gana el postor con la oferta más alta, pero el precio pagado es el segundo más alto. Este tipo de subasta es estratégicamente similar a una subasta inglesa y ofrece a los postores un incentivo para ofertar el valor real de su artículo . La subasta fue descrita académicamente por primera vez por el profesor de la Universidad de Columbia , William Vickrey, en 1961 ^{[ 1 ]} , aunque los coleccionistas de sellos la habían utilizado desde 1893 ^{[ 2 ].} En 1797, Johann Wolfgang von Goethe vendió un manuscrito mediante una subasta de segundo precio a sobre cerrado ^{[ 3 ] .}

El artículo original de Vickrey consideraba principalmente subastas donde se vendía un único bien indivisible. Los términos subasta de Vickrey y subasta a sobre cerrado de segundo precio son, en este caso, equivalentes y se usan indistintamente. En el caso de múltiples bienes idénticos, los postores presentan curvas de demanda inversas y pagan el costo de oportunidad . ^{[ 4 ]}

Las subastas de Vickrey son muy estudiadas en la literatura económica, pero poco comunes en la práctica. Existen variantes generalizadas de la subasta de Vickrey para subastas de múltiples unidades , como la subasta generalizada de segundo precio utilizada en los programas de publicidad en línea de Google y Yahoo! ^{[ 5 ] [ 6 ]} (no compatible con incentivos ) y la subasta de Vickrey-Clarke-Groves (compatible con incentivos).

La estrategia dominante en una subasta de Vickrey con un solo artículo indivisible es que cada postor ofrezca su valor real del artículo. ^{[ 7 ]}

Dejar${\displaystyle v_{i}}$ser el postor i valor por el artículo. Deje${\displaystyle b_{i}}$ser postor${\displaystyle i{\text{'s}}}$pujar por el artículo. La recompensa para el postor${\displaystyle i}$es

${\displaystyle {\begin{cases}v_{i}-\max _{j\neq i}b_{j}&{\text{si }}b_{i}>\max _{j\neq i}b_{j},\\0&{\text{en otro caso.}}\end{cases}}}$

La estrategia de sobreoferta está dominada por ofertar con veracidad (es decir, ofertar${\displaystyle v_{i}}$). Supongamos que el postor${\displaystyle i}$ofertas${\displaystyle b_{i}>v_{i}}$.

• Si${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}<v_{i}}$Entonces, el postor ganaría el artículo tanto con una oferta justa como con una oferta superior. El monto de la oferta no cambia la ganancia, por lo que ambas estrategias ofrecen ganancias iguales en este caso.
• Si${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}>b_{i}}$En ese caso, el postor perdería el artículo de cualquier manera, por lo que ambas estrategias ofrecen las mismas recompensas.
• Si${\displaystyle v_{i}<\max _{j\neq i}b_{j}<b_{i}}$En ese caso, solo la estrategia de sobrepujar podría ganar la subasta. La ganancia sería negativa para esta estrategia, ya que pagarían más de lo que vale el artículo, mientras que la ganancia para una puja honesta sería cero.

Por lo tanto, la estrategia de ofertar por encima de la valoración real está dominada por la estrategia de ofertar con veracidad. La estrategia de ofertar por debajo de la valoración también está dominada por ofertar con veracidad. Supongamos que el postor${\displaystyle i}$ofertas${\displaystyle b_{i}<v_{i}}$.

• Si${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}>v_{i}}$En ese caso, el postor perdería el artículo tanto con una oferta veraz como con una oferta inferior a la real, por lo que ambas estrategias ofrecen las mismas recompensas.
• Si${\displaystyle \max _{j\neq i}b_{j}<b_{i}}$En ese caso, el postor ganaría el artículo de cualquier manera, por lo que ambas estrategias ofrecen las mismas recompensas.
• Si${\displaystyle b_{i}<\max _{j\neq i}b_{j}<v_{i}}$Solo la estrategia de pujar con sinceridad permitiría ganar la subasta. La recompensa por la estrategia honesta sería positiva, ya que pagarían menos de lo que vale el artículo, mientras que la recompensa por una puja inferior al precio de mercado sería cero.

Por lo tanto, la estrategia de ofertar por debajo del precio de mercado queda eclipsada por la estrategia de ofertar con veracidad. Dado que la oferta veraz supera a las demás estrategias posibles (es decir, ofertar por debajo del precio de mercado y ofertar por encima del precio de mercado), se trata de una estrategia óptima.

Las dos subastas más comunes son la subasta sellada de primer precio (o puja más alta) y la subasta abierta de precio ascendente (o inglesa). En la primera, cada comprador presenta una puja sellada. El mejor postor se adjudica el artículo y paga su puja. En la segunda, el subastador anuncia precios de venta sucesivamente más altos y continúa hasta que nadie está dispuesto a aceptar un precio superior. Supongamos que la valoración de un comprador es${\displaystyle v}$y el precio de venta actual es${\displaystyle b}$. Si${\displaystyle v<b}$, entonces el comprador pierde al levantar la mano. Si${\displaystyle v>b}$Si el comprador no es el mejor postor, le resulta más rentable pujar que dejar que otro gane. Por lo tanto, una estrategia dominante para un comprador es retirarse de la puja cuando el precio de venta alcanza su valoración. Así, al igual que en la subasta a sobre cerrado de Vickrey, el precio pagado por el comprador con la valoración más alta es igual al segundo valor más alto.

Consideremos entonces el pago esperado en la subasta sellada de segundo precio. Vickrey consideró el caso de dos compradores y supuso que el valor de cada comprador era una extracción independiente de una distribución uniforme con soporte${\displaystyle [0,1]}$. Con los compradores pujando de acuerdo con sus estrategias dominantes, un comprador con valoración${\displaystyle v}$gana si el valor de su oponente${\displaystyle x<v}$. Supongamos que${\displaystyle v}$es el valor alto. Entonces el pago ganador se distribuye uniformemente en el intervalo${\displaystyle [0,v]}$y por lo tanto el pago esperado del ganador es

${\displaystyle e(v)={\tfrac {1}{2}}v.}$

Ahora argumentamos que en la subasta sellada de primer precio la oferta de equilibrio de un comprador con valoración${\displaystyle v}$es

${\displaystyle B(v)=e(v)={\tfrac {1}{2}}v.}$

Es decir, el pago al ganador en la subasta sellada de primer precio es igual a los ingresos esperados en la subasta sellada de segundo precio.

Prueba de equivalencia de ingresos

Supongamos que el comprador 2 realiza una oferta de acuerdo con la estrategia.${\displaystyle B(v)=v/2}$, dónde${\displaystyle B(v)}$es la oferta del comprador para una valoración${\displaystyle v}$Necesitamos demostrar que la mejor respuesta del comprador 1 es utilizar la misma estrategia.

Tenga en cuenta primero que si el comprador 2 utiliza la estrategia${\displaystyle B(v)=v/2}$, entonces la oferta máxima del comprador 2 es${\displaystyle B(1)=1/2}$y así el comprador 1 gana con probabilidad 1 con cualquier puja de 1/2 o más. Consideremos entonces una puja${\displaystyle b}$en el intervalo${\displaystyle [0,1/2]}$. Sea el valor del comprador 2${\displaystyle x}$. Entonces el comprador 1 gana si${\displaystyle B(x)=x/2<b}$, es decir, si${\displaystyle x<2b}$Bajo la suposición de Vickrey de valores distribuidos uniformemente, la probabilidad de ganar es${\displaystyle w(b)=2b}$Por lo tanto, la ganancia esperada del comprador 1 es:

${\displaystyle U(b)=w(b)(vb)=2b(vb)={\tfrac {1}{2}}[v^{2}-(v-2b)^{2}]}$

Tenga en cuenta que${\displaystyle U(b)}$alcanza su máximo en${\displaystyle b=v/2=B(v)}$.

En el enrutamiento de redes , los mecanismos VCG son una familia de esquemas de pago basados ​​en el concepto de valor añadido . La idea básica de un mecanismo VCG en el enrutamiento de redes es pagar al propietario de cada enlace o nodo (según el modelo de red) que forma parte de la solución, su coste declarado más su valor añadido. En muchos problemas de enrutamiento, este mecanismo no solo es inmune a la manipulación estratégica , sino que también es el mínimo entre todos los mecanismos inmunes a la manipulación estratégica.

En el caso de flujos de red, unicast o multicast , se calcula un flujo de costo mínimo (MCF) en el grafo G en función de los costos declarados d _k de cada uno de los enlaces y el pago se calcula de la siguiente manera:

Cada enlace (o nodo)${\displaystyle e_{k}}$En el MCF se paga

${\displaystyle p_{k}=d_{k}+\operatorname {MCF} (G-e_{k})-\operatorname {MCF} (G),}$

donde MCF( G ) indica el costo del flujo de costo mínimo en el grafo G y G  − e _k indica el grafo G sin el enlace e _k . Los enlaces que no están en MCF no reciben ningún pago. Este problema de enrutamiento es uno de los casos para los cuales VCG es a prueba de estrategias y mínimo. 

En 2004, se demostró que el sobrepago esperado de VCG de un grafo aleatorio de Erdős-Rényi con n nodos y probabilidad de arista p ,${\displaystyle \scriptstyle G\in G(n,p)}$aproches

${\displaystyle {\frac {p}{2-p}}}$

a medida que n , se acerca${\displaystyle \scriptstyle \infty }$, para${\displaystyle np=\omega ({\sqrt {n\log n}})}$. Antes de este resultado, se sabía que el sobrepago de VCG en G ( n , p ) es 

${\displaystyle \Omega \left({\frac {1}{np}}\right)}$

y

${\displaystyle O(1)\,}$

con alta probabilidad dada

${\displaystyle np=\omega (\log n).\,}$

La generalización más obvia a bienes múltiples o divisibles consiste en que todos los postores ganadores paguen el importe de la oferta más alta de los postores no ganadores. Esto se conoce como subasta de precio uniforme . Sin embargo, la subasta de precio uniforme no garantiza que los postores ofrezcan sus valoraciones reales, como ocurre en una subasta de segundo precio, a menos que cada postor tenga demanda de una sola unidad. Una generalización de la subasta de Vickrey que mantiene el incentivo para ofertar con veracidad se conoce como el mecanismo de Vickrey-Clarke-Groves (VCG). La idea en VCG es que los artículos se asignan para maximizar la suma de utilidades; luego, cada postor paga el "costo de oportunidad" que su presencia introduce para todos los demás jugadores. Este costo de oportunidad para un postor se define como la suma total de las ofertas de todos los demás postores que habrían ganado si el primer postor no hubiera ofertado, menos la suma total de las ofertas de todos los demás postores ganadores reales.

Otro tipo de generalización consiste en establecer un precio de reserva : un precio mínimo por debajo del cual el artículo no se vende. En algunos casos, fijar un precio de reserva puede aumentar considerablemente los ingresos del subastador. Este es un ejemplo de diseño de mecanismo óptimo bayesiano .

En el diseño de mecanismos , el principio de revelación puede considerarse una generalización de la subasta de Vickrey.

• Teoría de las subastas
• Subasta a sobre cerrado al primer precio
• Subasta VCG
• Método Becker-DeGroot-Marschak

• Vijay Krishna, Teoría de las subastas , Academic Press, 2002.
• Peter Cramton, Yoav Shoham, Richard Steinberg (Eds.), Subastas combinatorias , MIT Press, 2006, Capítulo 1. ISBN 0-262-03342-9.
• Paul Milgrom, Poniendo la teoría de las subastas en práctica , Cambridge University Press, 2004.
• Teck Ho, "Consumo y producción", UC Berkeley, promoción de 2010 de la Escuela de Negocios Haas.