Cálculo secundario y física cohomológica

En matemáticas , el cálculo secundario es una extensión propuesta del cálculo diferencial clásico en variedades , al "espacio" de soluciones de una ecuación diferencial parcial (no lineal) . Se trata de una teoría sofisticada a nivel de espacios de jets que emplea métodos algebraicos.

El cálculo secundario actúa sobre el espacio de soluciones de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales (generalmente ecuaciones no lineales). Cuando el número de variables independientes es cero (es decir, las ecuaciones son todas algebraicas ), el cálculo secundario se reduce al cálculo diferencial clásico .

Todos los objetos en cálculo secundario son clases de cohomología de complejos diferenciales que crecen en diferencias . Estas últimas son, en el marco del cálculo secundario, el análogo de las variedades diferenciables .

La física cohomológica nació con el teorema de Gauss , que describe la carga eléctrica contenida en una superficie dada en términos del flujo del campo eléctrico a través de dicha superficie. El flujo es la integral de una forma diferencial y, por consiguiente, una clase de cohomología de De Rham . No es casualidad que fórmulas de este tipo, como la conocida fórmula de Stokes , si bien forman parte natural del cálculo diferencial clásico, hayan pasado a las matemáticas modernas desde la física.

Todas las construcciones del cálculo diferencial clásico tienen un análogo en el cálculo secundario. Por ejemplo, las simetrías superiores de un sistema de ecuaciones diferenciales parciales son el análogo de los campos vectoriales en variedades diferenciables. El operador de Euler, que asocia a cada problema variacional la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente , es el análogo del diferencial clásico que asocia a una función en una variedad su diferencial. El operador de Euler es un operador diferencial secundario de primer orden, aunque, según su expresión en coordenadas locales, parezca de orden infinito. De forma más general, el análogo de las formas diferenciales en el cálculo secundario son los elementos del primer término de la llamada sucesión C-espectral , y así sucesivamente.

Las diferencias más simples son prolongaciones infinitas de ecuaciones diferenciales parciales , que son subvariedades de espacios de jets infinitos . Estos últimos son variedades de dimensión infinita que no pueden estudiarse mediante el análisis funcional estándar . Por el contrario, el lenguaje más natural para estudiar estos objetos es el cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas . Por lo tanto, este último debe considerarse una herramienta fundamental del cálculo secundario. Por otro lado, el cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas permite desarrollar la geometría algebraica como si fuera geometría diferencial.

Los recientes avances en física de partículas , basados ​​en teorías cuánticas de campos y sus generalizaciones, han permitido comprender la profunda naturaleza cohomológica de las magnitudes que describen tanto los campos clásicos como los cuánticos. El punto de inflexión fue el descubrimiento de la famosa transformación BRST . Por ejemplo, se comprendió que los observables en teoría de campos son clases en la cohomología de De Rham horizontal que son invariantes bajo el grupo de gauge correspondiente, y así sucesivamente. Esta corriente en la física teórica moderna se denomina Física Cohomológica.

Es relevante que el cálculo secundario y la física cohomológica, que se desarrollaron de forma independiente durante veinte años, llegaran a los mismos resultados. Su convergencia tuvo lugar en la conferencia internacional Cálculo Secundario y Física Cohomológica (Moscú, 24-30 de agosto de 1997).

Un gran número de teorías matemáticas modernas convergen armoniosamente en el marco del cálculo secundario, por ejemplo: álgebra conmutativa y geometría algebraica , álgebra homológica y topología diferencial , teoría de grupos de Lie y álgebra de Lie , geometría diferencial , etc.

• Cálculo diferencial sobre álgebras conmutativas
• Espectro de un anillo : conjunto de ideales primordiales de un anillo 

• IS Krasil'shchik, Cálculo sobre álgebras conmutativas: una guía concisa para el usuario , Acta Appl. Math. 49 (1997) 235–248; DIPS-01/98
• IS Krasil'shchik, AM Verbovetsky, Métodos homológicos en ecuaciones de física matemática , Open Ed. y Ciencias, Opava (Rep. Checa), 1998; DIPS-07/98 .
• IS Krasil'shchik, AM Vinogradov (eds.), Simetrías y leyes de conservación para ecuaciones diferenciales de física matemática , Traducciones de Monografías Matemáticas 182, Amer. Math. Soc., 1999.
• J. Nestruev, Smooth Manifolds and Observables , Graduate Texts in Mathematics 220, Springer, 2002, doi : 10.1007/978-3-030-45650-4 .
• AM Vinogradov, La secuencia espectral C, el formalismo lagrangiano y las leyes de conservación I. La teoría lineal , J. Math. Anal. Appl. 100 (1984) 1—40; Biblioteca del Instituto de Diffiety .
• AM Vinogradov, La secuencia espectral C, el formalismo lagrangiano y las leyes de conservación II. La teoría no lineal , J. Math. Anal. Appl. 100 (1984) 41–129; Biblioteca del Instituto de Diffiety .
• AM Vinogradov, De las simetrías de las ecuaciones diferenciales parciales hacia el cálculo secundario (`cuantizado`) , J. Geom. Phys. 14 (1994) 146–194; Biblioteca del Instituto de Diferencias .
• AM Vinogradov, Introducción al cálculo secundario , Actas de la Conferencia sobre Cálculo Secundario y Física de la Cohomología (M. Henneaux, IS Krasil'shchik y AM Vinogradov, eds.), Matemáticas Contemporáneas, Sociedad Matemática Americana, Providence, Rhode Island, 1998; DIPS-05/98 .
• AM Vinogradov, Análisis cohomológico de ecuaciones diferenciales parciales y cálculo secundario , Traducciones de monografías matemáticas 204, Amer. Math. Soc., 2001.

• El Instituto Diffiety
• Escuela Diffiety