Subcociente

En los campos matemáticos de la teoría de categorías y el álgebra abstracta , un subcociente es un objeto cociente de un subobjeto . Los subcocientes son particularmente importantes en las categorías abelianas y en la teoría de grupos , donde también se les conoce como secciones , aunque esto entra en conflicto con un significado diferente en la teoría de categorías.

Así pues, en la estructura algebraica de los grupos,${\displaystyle H}$es un subcociente de${\displaystyle G}$si existe un subgrupo${\displaystyle G'}$de${\displaystyle G}$y un subgrupo normal${\displaystyle G''}$de${\displaystyle G'}$de modo que${\displaystyle H}$es isomorfo a${\displaystyle G'/G''}$.

En la literatura sobre grupos esporádicos, formulaciones como "${\displaystyle H}$está involucrado en${\displaystyle G}$" ^{[ 1 ]} se puede encontrar con el significado aparente de "${\displaystyle H}$es un subcociente de${\displaystyle G}$".

Al igual que en el contexto de los subgrupos, en el contexto de los subcocientes se puede utilizar el término trivial para los dos subcocientes.${\displaystyle G}$y${\displaystyle \{1\}}$que están presentes en cada grupo${\displaystyle G}$.

Un cociente de una subrepresentación de una representación (de, por ejemplo, un grupo) podría llamarse representación subcociente; p. ej., el teorema del subcociente de Harish-Chandra . ^{[ 2 ]}

Hay subcocientes de grupos que no son ni subgrupos ni cocientes de ellos. Por ejemplo, según el artículo Grupo esporádico , Fi ₂₂ tiene una doble cobertura que es un subgrupo de Fi ₂₃ , por lo que es un subcociente de Fi ₂₃ sin ser un subgrupo ni un cociente de él.

El subcociente de la relación es una relación de orden , que se denotará por${\displaystyle \preceq }$. Se demostrará para grupos.

Notación

Sea G un grupo, sea G ′ un subgrupo de G , sea G ′ ′ un subgrupo normal de G ′ , y sea H el grupo cociente G ′ / G ′ ′ . Entonces decimos que H es un subcociente de G. En símbolos, sea G ′ ′ ◃ G ′ ≤ G y H = G ′ / G ′ ′ ; entonces H ⪯ G. Esta relación tiene las siguientes propiedades:

1. Reflexividad :${\displaystyle G\preceq G}$, es decir, cada elemento está relacionado consigo mismo. De hecho,${\displaystyle G}$es isomorfo al subcociente${\displaystyle G/\{1\}}$de${\displaystyle G}$.
2. Antisimetría : si${\displaystyle G\preceq H}$y${\displaystyle H\preceq G}$entonces${\displaystyle G\cong H}$; es decir, no hay dos elementos distintos que precedan a otro. De hecho, una comparación de los órdenes de grupo de${\displaystyle G}$y${\displaystyle H}$entonces produce${\displaystyle |G|=|H|}$de cuál${\displaystyle G\cong H}$.
3. Transitividad : si${\displaystyle H'/H''\preceq H}$y${\displaystyle H\preceq G}$entonces${\displaystyle H'/H''\preceq G}$.

• álgebra homológica
• Subcontable