Fórmula de la sección

En geometría analítica , la fórmula de la sección se utiliza para hallar la razón en la que un segmento de recta es dividido por un punto, ya sea interna o externamente. ^{[ 1 ]} Se utiliza para hallar el centroide , el incentro y el excentro de un triángulo . En física , se utiliza para hallar el centro de masa de sistemas, puntos de equilibrio , etc. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

Si el punto P (situado en AB) divide el segmento de recta AB que une los puntos${\displaystyle \mathrm {A} (x_ {1}, y_ {1})}$y${\displaystyle \mathrm {B} (x_ {2}, y_ {2})}$en la proporción m:n, entonces

${\displaystyle P=\left({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}}\right)}$^{[ 6 ]}

La razón m:n también se puede escribir como${\displaystyle m/n:1}$, o${\displaystyle k:1}$, dónde${\displaystyle k=m/n}$. Entonces, las coordenadas del punto${\displaystyle P}$dividiendo el segmento de línea que une los puntos${\displaystyle \mathrm {A} (x_ {1}, y_ {1})}$y${\displaystyle \mathrm {B} (x_ {2}, y_ {2})}$son:

${\displaystyle \left({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}}\right)}$

${\displaystyle =\left({\frac {{\frac {m}{n}}x_{2}+x_{1}}{{\frac {m}{n}}+1}},{\frac {{\frac {m}{n}}y_{2}+y_{1}}{{\frac {m}{n}}+1}}\right)}$

${\displaystyle =\left({\frac {kx_{2}+x_{1}}{k+1}},{\frac {ky_{2}+y_{1}}{k+1}}\right)}$^{[ 4 ] [ 5 ]}

De manera similar, la razón también se puede escribir como${\displaystyle k:(1-k)}$y las coordenadas de P son${\displaystyle ((1-k)x_{1}+kx_{2},(1-k)y_{1}+ky_{2})}$. ^{[ 1 ]}

Si un punto P (situado en la prolongación de AB) divide a AB en la razón m:n, entonces

${\displaystyle P=\left({\dfrac {mx_{2}-nx_{1}}{mn}},{\dfrac {my_{2}-ny_{1}}{mn}}\right)}$^{[ 6 ]}

El punto medio de un segmento de línea lo divide internamente en la proporción${\textstyle 1:1}$. Aplicando la fórmula de la sección para la división interna: ^{[ 4 ] [ 5 ]}

$${\displaystyle P=\left({\dfrac {x_{1}+x_{2}}{2}},{\dfrac {y_{1}+y_{2}}{2}}\right)}$$

El centroide de un triángulo es la intersección de las medianas y divide cada mediana en la proporción${\textstyle 2:1}$. Sean los vértices del triángulo${\displaystyle A(x_{1},y_{1})}$,${\textstyle B(x_{2},y_{2})}$y${\textstyle C(x_{3},y_{3})}$. Por lo tanto, una mediana desde el punto A intersecará BC en${\textstyle \left({\frac {x_{2}+x_{3}}{2}},{\frac {y_{2}+y_{3}}{2}}\right)}$Utilizando la fórmula de la sección, el centroide se convierte en:

$${\displaystyle \left({\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}}{3}},{\frac {y_{1}+y_{2}+y_{3}}{3}}\right)}$$

Sean A y B dos puntos con coordenadas cartesianas (x₁ _, y₁ _, z₁ ₎ y ( x₂ _, y₂ _, z₂ ₎ , y sea P un punto en la recta que pasa por A y B. Si${\displaystyle AP:PB=m:n}$. Entonces la fórmula de la sección da las coordenadas de P como

${\displaystyle \left({\frac {mx_{2}+nx_{1}}{m+n}},{\frac {my_{2}+ny_{1}}{m+n}},{\frac {mz_{2}+nz_{1}}{m+n}}\right)}$^{[ 1 ]}

Si, en cambio, P es un punto en la línea tal que${\displaystyle AP:PB=k:1-k}$, sus coordenadas son${\displaystyle ((1-k)x_{1}+kx_{2},(1-k)y_{1}+ky_{2},(1-k)z_{1}+kz_{2})}$. ^{[ 1 ]}

El vector de posición de un punto P que divide el segmento de línea que une los puntos A y B cuyos vectores de posición son${\displaystyle {\vec {a}}}$y${\displaystyle {\vec {b}}}$

1. en la proporción${\displaystyle m:n}$internamente, se da por${\displaystyle {\frac {n{\vec {a}}+m{\vec {b}}}{m+n}}}$^{[ 7 ] [ 1 ]}
2. en la proporción${\displaystyle m:n}$externamente, viene dado por${\displaystyle {\frac {m{\vec {b}}-n{\vec {a}}}{m-n}}}$^{[ 7 ]}

• Fórmula de la sección transversal
• Fórmula de distancia
• Fórmula del punto medio
• conjugado armónico proyectivo

• Fórmula de sección de GeoGebra