Visión astronómica

Los modelos matemáticos pueden proporcionar una representación precisa de los efectos de la turbulencia atmosférica en las imágenes tomadas con telescopios terrestres. A la derecha se muestran tres imágenes simuladas de corta exposición, tomadas con tres diámetros de telescopio diferentes (como imágenes negativas para resaltar con mayor claridad las características más débiles, una convención astronómica común). Los diámetros de los telescopios se expresan en términos del parámetro de Fried.${\displaystyle r_{0}}$(definido a continuación).${\displaystyle r_{0}}$es una medida comúnmente utilizada de la visión astronómica en los observatorios. En longitudes de onda visibles,${\displaystyle r_{0}}$Varía desde 20  cm en las mejores ubicaciones hasta 5  cm en los sitios típicos a nivel del mar.

En realidad, el patrón de manchas ( moteados ) en las imágenes cambia muy rápidamente, de modo que las fotografías de larga exposición mostrarían una única mancha grande y borrosa en el centro para cada diámetro del telescopio. El diámetro (FWHM) de esta mancha borrosa en las imágenes de larga exposición se denomina diámetro del disco de visión y es independiente del diámetro del telescopio utilizado (siempre que no se aplique la corrección de óptica adaptativa).

En la teoría clásica estándar, la luz se trata como una oscilación en un campo.${\displaystyle \psi }$Para ondas planas monocromáticas que llegan desde una fuente puntual distante con vector de onda${\displaystyle \mathbf {k} }$: $${\displaystyle \psi _{0}\left(\mathbf {r} ,t\right)=A_{u}e^{i\left(\phi _{u}+2\pi \nu t+\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} \right)}}$$ dónde${\displaystyle \psi _{0}}$es el campo complejo en la posición${\displaystyle \mathbf {r} }$y tiempo${\displaystyle t}$, con partes reales e imaginarias que corresponden a los componentes del campo eléctrico y magnético,${\displaystyle \phi _{u}}$representa un desfase, ${\displaystyle \nu }$es la frecuencia de la luz determinada por${\textstyle \nu ={\frac {1}{2\pi }}c\left|\mathbf {k} \right|}$, y${\displaystyle A_{u}}$es la amplitud de la luz.

En este caso, el flujo de fotones es proporcional al cuadrado de la amplitud.${\displaystyle A_{u}}$y la fase óptica corresponde al argumento complejo de${\displaystyle \psi _{0}}$A medida que los frentes de onda atraviesan la atmósfera terrestre, pueden verse perturbados por variaciones en el índice de refracción atmosférico. El diagrama en la parte superior derecha de esta página muestra esquemáticamente una capa turbulenta en la atmósfera terrestre que perturba los frentes de onda planos antes de que entren en un telescopio. El frente de onda perturbado${\displaystyle \psi _{p}}$puede estar relacionado en cualquier instante dado con el frente de onda planar original.${\displaystyle \psi _{0}\left(\mathbf {r} \right)}$De la siguiente manera: $${\displaystyle \psi _{p}\left(\mathbf {r} \right)=\left(\chi _{a}\left(\mathbf {r} \right)e^{i\phi _{a}\left(\mathbf {r} \right)}\right)\psi _{0}\left(\mathbf {r} \right)}$$ dónde${\displaystyle \chi _{a}\left(\mathbf {r} \right)}$representa el cambio fraccional en la amplitud del frente de onda y${\displaystyle \phi _{a}\left(\mathbf {r} \right)}$ es el cambio en la fase del frente de onda introducido por la atmósfera. Tenga en cuenta que${\displaystyle \chi _{a}\left(\mathbf {r} \right)}$y${\displaystyle \phi _{a}\left(\mathbf {r} \right)}$describen el efecto de la atmósfera terrestre, y las escalas de tiempo para cualquier cambio en estas funciones estarán determinadas por la velocidad de las fluctuaciones del índice de refracción en la atmósfera.

El modelo de Kolmogorov desarrollado por Tatarski ^{[ 2 ]} , basado en parte en los estudios de turbulencia del matemático ruso Andrey Kolmogorov ^{[ 3 ] [ 4 ]} , proporciona una descripción de la naturaleza de las perturbaciones del frente de onda introducidas por la atmósfera . Este modelo está respaldado por diversas mediciones experimentales ^{[ 5 ]} y se utiliza ampliamente en simulaciones de imágenes astronómicas. El modelo supone que las perturbaciones del frente de onda son causadas por variaciones en el índice de refracción de la atmósfera. Estas variaciones del índice de refracción conducen directamente a fluctuaciones de fase descritas por${\displaystyle \phi _{a}\left(\mathbf {r} \right)}$pero cualquier fluctuación de amplitud solo se produce como un efecto de segundo orden mientras los frentes de onda perturbados se propagan desde la capa atmosférica perturbadora hasta el telescopio. Para todos los modelos razonables de la atmósfera terrestre en longitudes de onda ópticas e infrarrojas, el rendimiento de imagen instantáneo está dominado por las fluctuaciones de fase.${\displaystyle \phi _{a}\left(\mathbf {r} \right)}$. Las fluctuaciones de amplitud descritas por${\displaystyle \chi _{a}\left(\mathbf {r} \right)}$Tienen un efecto insignificante en la estructura de las imágenes que se ven en el foco de un telescopio grande.

Para simplificar, en el modelo de Tatarski se suele suponer que las fluctuaciones de fase tienen una distribución aleatoria gaussiana con la siguiente función de estructura de segundo orden: $${\displaystyle D_{\phi _{a}}\left(\mathbf {\rho } \right)=\left\langle \left|\phi _{a}\left(\mathbf {r} \right)-\phi _{a}\left(\mathbf {r} +\mathbf {\rho } \right)\right|^{2}\right\rangle _{\mathbf {r} }}$$ dónde${\displaystyle D_{\phi _{a}}\left({\mathbf {\rho } }\right)}$es la variación inducida atmosféricamente entre la fase en dos partes del frente de onda separadas por una distancia${\displaystyle {\boldsymbol {\rho }}}$en el plano de apertura, y${\displaystyle \langle \cdot \rangle }$representa el promedio del conjunto.

Para la aproximación aleatoria gaussiana, la función de estructura de Tatarski (1961) se puede describir en términos de un solo parámetro.${\displaystyle r_{0}}$: $${\displaystyle D_{\phi _{a}}\left({\mathbf {\rho } }\right)=6.88\left({\frac {\left|\mathbf {\rho } \right|}{r_{0}}}\right)^{5/3}}$$${\displaystyle r_{0}}$Indica la intensidad de las fluctuaciones de fase, ya que corresponde al diámetro de la apertura circular de un telescopio en el que las perturbaciones de fase atmosféricas comienzan a limitar seriamente la resolución de la imagen. Típico${\displaystyle r_{0}}$Los valores para las observaciones en la banda I (  longitud de onda de 900 nm) en buenos emplazamientos son de 20 a 40  cm.${\displaystyle r_{0}}$también corresponde al diámetro de apertura para el cual la varianza${\displaystyle \sigma ^{2}}$de la fase del frente de onda promediada sobre la apertura llega aproximadamente a la unidad: ^{[ 6 ]}$${\displaystyle \sigma ^{2}=1.0299\left({\frac {d}{r_{0}}}\right)^{5/3}}$$Esta ecuación representa una definición comúnmente utilizada para${\displaystyle r_{0}}$, un parámetro que se utiliza con frecuencia para describir las condiciones atmosféricas en los observatorios astronómicos.

${\displaystyle r_{0}}$puede determinarse a partir de un perfil de C _N ² medido (que se describe a continuación) de la siguiente manera: $${\displaystyle r_{0}=\left(16.7\lambda ^{-2}(\cos \gamma )^{-1}\int _{0}^{\infty }C_{N}^{2}(h)dh\right)^{-3/5}}$$ donde la intensidad de la turbulencia${\displaystyle C_{N}^{2}(h)}$varía en función de la altura${\displaystyle h}$encima del telescopio, y${\displaystyle \gamma }$es la distancia angular de la fuente astronómica al cenit (desde directamente encima).

Si se supone que la evolución turbulenta ocurre en escalas de tiempo lentas, entonces la escala de tiempo t ₀ es simplemente proporcional a r ₀ dividido por la velocidad media del viento.

Las fluctuaciones del índice de refracción causadas por la turbulencia aleatoria gaussiana se pueden simular utilizando el siguiente algoritmo: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \phi _{a}(\mathbf {r} )={\mbox{Re}}[{\mbox{FT}}[R(\mathbf {k} )K(\mathbf {k} )]]}$$ dónde${\displaystyle \phi _{a}(\mathbf {r} )}$es el error de fase óptica introducido por la turbulencia atmosférica, R ( k ) es una matriz cuadrada bidimensional de números complejos aleatorios independientes que tienen una distribución gaussiana alrededor de cero y un espectro de ruido blanco, K ( k ) es la amplitud de Fourier (real) esperada del espectro de Kolmogorov (o Von Karman), Re[...] representa tomar la parte real, y FT[...] representa una transformada discreta de Fourier de la matriz cuadrada bidimensional resultante (típicamente una FFT).

La suposición de que las fluctuaciones de fase en el modelo de Tatarski tienen una distribución aleatoria gaussiana suele ser poco realista. En realidad, la turbulencia presenta intermitencia. ^{[ 8 ]}

Estas fluctuaciones en la intensidad de la turbulencia se pueden simular directamente de la siguiente manera: ^{[ 7 ]}$${\displaystyle \phi _{a}(\mathbf {r} )=\operatorname {Re} [{\mbox{FT}}[(R(\mathbf {k} )\otimes I(\mathbf {k} ))K(\mathbf {k} )]]}$$ donde I ( k ) es una matriz bidimensional que representa el espectro de intermitencia, con las mismas dimensiones que R ( k ) , y donde${\displaystyle \otimes }$representa la convolución . La intermitencia se describe en términos de fluctuaciones en la intensidad de la turbulencia.${\displaystyle C_{n}^{2}}$Se puede observar que la ecuación para el caso aleatorio gaussiano anterior es simplemente el caso especial de esta ecuación con: $${\displaystyle I(k)=\delta (|k|)}$$ dónde${\displaystyle \delta ()}$es la función delta de Dirac .