Teorema de Segre

En geometría proyectiva , el teorema de Segre , que lleva el nombre del matemático italiano Beniamino Segre , es la siguiente afirmación:

• Cualquier óvalo en un plano proyectivo papiano finito de orden impar es una sección cónica proyectiva no degenerada .

Esta afirmación fue planteada en 1949 por los dos matemáticos finlandeses G. Järnefelt y P. Kustaanheimo , y su demostración fue publicada en 1955 por B. Segre.

Un plano proyectivo pappiano finito puede imaginarse como la clausura proyectiva del plano real (mediante una recta en el infinito ), donde los números reales se reemplazan por un cuerpo finito K. El orden impar implica que | K | = n es impar . Un óvalo es una curva similar a un círculo (véase la definición a continuación): cualquier recta lo interseca en como máximo 2 puntos y por cualquier punto del mismo pasa exactamente una tangente. Los ejemplos estándar son las secciones cónicas proyectivas no degeneradas.

En los planos proyectivos papianos de orden par mayor que cuatro hay óvalos que no son cónicas. En un plano infinito existen óvalos que no son cónicas. En el plano real, basta con pegar suavemente la mitad de un círculo y una elipse adecuada .

La demostración del teorema de Segre, que se muestra a continuación, utiliza la versión de 3 puntos del teorema de Pascal y una propiedad de un cuerpo finito de orden impar, a saber, que el producto de todos los elementos distintos de cero es igual a -1.

• En un plano proyectivo un conjunto${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$Un conjunto de puntos se denomina óvalo si:

(1) Cualquier línea${\displaystyle g}$encuentros${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$en como máximo dos puntos.

Si${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=0}$la línea${\displaystyle g}$es una línea exterior (o de paso ); en caso${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=1}$una línea tangente y si${\displaystyle |g\cap {\mathfrak {o}}|=2}$La línea es una línea secante .

(2) Por cualquier punto${\displaystyle P\in {\mathfrak {o}}}$existe exactamente una tangente${\displaystyle t}$en P , es decir,${\displaystyle t\cap {\mathfrak {o}}=\{P\}}$.

Para planos finitos (es decir, el conjunto de puntos es finito) tenemos una caracterización más conveniente:

• Para un plano proyectivo finito de orden n (es decir, cualquier línea contiene n + 1 puntos), un conjunto${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$de puntos es un óvalo si y solo si${\displaystyle |{\mathfrak {o}}|=n+1}$y no hay tres puntos colineales (en una línea común).

Teorema

Dejemos que sea${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$un óvalo en un plano proyectivo papiano de características${\displaystyle \neq 2}$. ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$es una cónica no degenerada si y solo si se cumple la condición (P3) :

(P3): Sea${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$cualquier triángulo en${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$y${\displaystyle {\overline {P_{i}P_{i}}}}$la tangente en el punto${\displaystyle P_{i}}$a${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$, entonces los puntos

${\displaystyle P_{4}:={\overline {P_{1}P_{1}}}\cap {\overline {P_{2}P_{3}}},\ P_{5}:={\overline {P_{2}P_{2}}}\cap {\overline {P_{1}P_{3}}},\ P_{6}:={\overline {P_{3}P_{3}}}\cap {\overline {P_{1}P_{2}}}}$

son colineales. ^{[ 1 ]}

Prueba

Sea el plano proyectivo coordinatizado de forma no homogénea sobre un campo.${\displaystyle K}$ de tal manera que${\displaystyle P_{3}=(0),\;g_{\infty }}$es la tangente en${\displaystyle P_{3},\ (0,0)\in {\mathfrak {o}}}$, el eje x es la tangente en el punto${\displaystyle (0,0)}$ y ${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$contiene el punto${\displaystyle (1,1)}$Además, establecimos${\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1}),\;P_{2}=(x_{2},y_{2})\ .}$(imagen de fondo) El óvalo${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$puede describirse mediante una función${\displaystyle f:K\mapsto K}$de tal manera que:

${\displaystyle {\mathfrak {o}}=\{(x,y)\in K^{2}\;|\;y=f(x)\}\ \cup \{(\infty )\}\;.}$

La tangente en el punto${\displaystyle (x_{0},f(x_{0}))}$se describirá mediante una función${\displaystyle f'}$de tal manera que su ecuación sea

${\displaystyle y=f'(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})}$

Por lo tanto (ver imagen)

${\displaystyle P_{5}=(x_{1},f'(x_{2})(x_{1}-x_{2})+f(x_{2}))}$y ${\displaystyle P_{4}=(x_{2},f'(x_{1})(x_{2}-x_{1})+f(x_{1}))\;.}$

Yo: si${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$es una cónica no degenerada que tenemos${\displaystyle f(x)=x^{2}}$y${\displaystyle f'(x)=2x}$y se calcula fácilmente que${\ Displaystyle P_ {4}, P_ {5}, P_ {6}}$son colineales.

II: Si${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$es un óvalo con propiedad (P3) , la pendiente de la línea${\displaystyle {\overline {P_{4}P_{5}}}}$es igual a la pendiente de la línea${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{2}}}}$, eso significa:

${\displaystyle f'(x_{2})+f'(x_{1})-{\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}={\frac {f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}}}$y por lo tanto

(i):${\displaystyle (f'(x_{2})+f'(x_{1}))(x_{2}-x_{1})=2(f(x_{2})-f(x_{1}))}$a pesar de ${\displaystyle x_{1},x_{2}\in K}$.

Con${\displaystyle f(0)=f'(0)=0}$ uno consigue

(ii):${\displaystyle f'(x_{2})x_{2}=2f(x_{2})}$y de${\displaystyle f(1)=1}$obtenemos

(iii):${\displaystyle f'(1)=2\;.}$

(i) y (ii) producen

(iv):${\displaystyle f'(x_{2})x_{1}=f'(x_{1})x_{2}}$y con (iii) al menos obtenemos

(v):${\displaystyle f'(x_{2})=2x_{2}}$a pesar de${\displaystyle x_{2}\in K}$.

Una consecuencia de (ii) y (v) es

${\displaystyle f(x_{2})=x_{2}^{2},\;x_{2}\in K}$.

Por eso${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$es una cónica no degenerada.

Nota: La propiedad (P3) se cumple para cualquier óvalo en un plano proyectivo papiano de característica 2 con un núcleo (todas las tangentes se encuentran en el núcleo). Por lo tanto, en este caso (P3) también es cierta para óvalos no cónicos. ^{[ 2 ]}

Teorema

Cualquier óvalo${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$En un plano proyectivo papiano finito de orden impar existe una sección cónica no degenerada.

Prueba

^{[ 3 ]}

Para la demostración mostramos que el óvalo tiene la propiedad (P3) de la versión de 3 puntos del teorema de Pascal.

Dejemos que sea${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$cualquier triángulo en${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$y${\ Displaystyle P_ {4}, P_ {5}, P_ {6}}$definido como se describe en (P3) . El plano de Papp se coordinará de forma no homogénea sobre un campo finito. ${\displaystyle K}$, de tal manera que${\displaystyle P_{3}=(\infty),\;P_{2}=(0),\;P_{1}=(1,1)}$y${\displaystyle (0,0)}$es el punto común de las tangentes en${\displaystyle P_{2}}$y${\displaystyle P_{3}}$El óvalo${\displaystyle {\mathfrak {o}}}$puede describirse mediante una función biyectiva${\displaystyle f:K^{*}:=K\cup \setminus \{0\}\mapsto K^{*}}$:

${\displaystyle {\mathfrak {o}}=\{(x,y)\in K^{2}\;|\;y=f(x),\;x\neq 0\}\;\cup \;\{(0),(\infty )\}\;.}$

Por un punto${\displaystyle P=(x,y),\;x\in K\setminus \{0,1\}}$, la expresión ${\displaystyle m(x)={\tfrac {f(x)-1}{x-1}}}$es la pendiente de la secante${\displaystyle {\overline {PP_{1}}}\;.}$Porque ambas funciones${\displaystyle x\mapsto f(x)-1}$y${\displaystyle x\mapsto x-1}$son biyecciones de ${\displaystyle K\setminus \{0,1\}}$a${\displaystyle K\setminus \{0,-1\}}$, y${\displaystyle x\mapsto m(x)}$una biyección de${\displaystyle K\setminus \{0,1\}}$sobre ${\displaystyle K\setminus \{0,m_{1}\}}$, dónde${\displaystyle m_{1}}$es la pendiente de la tangente en ${\displaystyle P_{1}}$, para${\displaystyle K^{**}:=K\setminus \{0,1\}\;:}$ obtenemos

${\displaystyle \prod _{x\in K^{**}}(f(x)-1)=\prod _{x\in K^{**}}(x-1)=1\quad {\text{und}}\quad m_{1}\cdot \prod _{x\in K^{**}}{\frac {f(x)-1}{x-1}}=-1\;.}$

(Nota: Para${\displaystyle K^{*}:=K\setminus \{0\}}$tenemos: ${\displaystyle \displaystyle \prod _{k\in K^{*}}k=-1\;.}$) Por eso

${\displaystyle -1=m_{1}\cdot \prod _{x\in K^{**}}{\frac {f(x)-1}{x-1}}=m_{1}\cdot {\frac {\displaystyle \prod _{x\in K^{**}}(f(x)-1)}{\displaystyle \prod _{x\in K^{**}}(x-1)}}=m_{1}\;.}$

Debido a las pendientes de la línea${\displaystyle {\overline {P_{5}P_{6}}}}$ y tangente ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{1}}}}$ambos son${\displaystyle -1}$De ello se deduce que ${\displaystyle {\overline {P_{1}P_{1}}}\cap {\overline {P_{2}P_{3}}}=P_{4}\in {\overline {P_{5}P_{6}}}}$Esto es cierto para cualquier triángulo.${\displaystyle P_{1},P_{2},P_{3}\in {\mathfrak {o}}}$.

Entonces: (P3) del teorema de Pascal de 3 puntos se cumple y el óvalo es una cónica no degenerada.

• B. Segre : Óvalos en un plano proyectivo finito , Canadian Journal of Mathematics 7 (1955), págs.  414–416.
• G. Järnefelt y P. Kustaanheimo : Una observación sobre geometrías finitas , Den 11 te Skandinaviske Matematikerkongress, Trondheim (1949), págs  .
• Albrecht Beutelspacher , Ute Rosenbaum: Geometría proyectiva. 2. Auflaje. Vieweg, Wiesbaden 2004, ISBN 3-528-17241-X, pág.  162.
• P. Dembowski : Geometrías finitas. Springer-Verlag, 1968, ISBN 3-540-61786-8pág.  149

• Simeon Ball y Zsuzsa Weiner: Una introducción a la geometría finita