Conjetura de Seifert

En matemáticas , la conjetura de Seifert afirma que todo campo vectorial continuo y no singular en la 3-esfera tiene una órbita cerrada. Recibe su nombre de Herbert Seifert . En un artículo de 1950, Seifert se preguntó si tal campo vectorial existía, pero no formuló la inexistencia como una conjetura. También estableció la conjetura para perturbaciones de la fibración de Hopf .

La conjetura fue refutada en 1974 por Paul Schweitzer , quien exhibió una${\displaystyle C^{1}}$contraejemplo . La construcción de Schweitzer fue luego modificada por Jenny Harrison en 1988 para hacer un${\displaystyle C^{2+\delta }}$contraejemplo para algunos${\displaystyle \delta >0}$La existencia de contraejemplos más suaves siguió siendo una cuestión abierta hasta 1993, cuando Krystyna Kuperberg construyó uno muy diferente .${\displaystyle C^{\infty }}$contraejemplo. Posteriormente se demostró que esta construcción tenía versiones analíticas reales y lineales por partes. En 1997, para el caso particular de fluidos incompresibles, se demostró que todos${\displaystyle C^{\omega }}$flujos de estado estacionario en${\displaystyle S^{3}}$poseen líneas de flujo cerradas ^{[ 1 ]} basadas en resultados similares para flujos de Beltrami en la conjetura de Weinstein . ^{[ 2 ]}

• Ginzburg, Viktor L.; Gurel, Basak Z. (2001). "Contraejemplo suave AC ² a la conjetura de Seifert hamiltoniana en R ⁴ ". arXiv : math/0110047 .
• Harrison, Jenny (1988).${\displaystyle C^{2}}$contraejemplos a la conjetura de Seifert". Topología . 27 (3): 249– 278. doi : 10.1016/0040-9383(88)90009-2 . MR 0963630 . 
• Kuperberg, Greg (1996). "Un contraejemplo de la conjetura de Seifert que preserva el volumen". Comentarios Mathematici Helvetici . 71 (1): 70– 97. arXiv : alg-geom/9405012 . doi : 10.1007/BF02566410 . SEÑOR 1371679 . S2CID 18212778 .  
• Kuperberg, Greg ; Kuperberg, Krystyna (1996). "Contraejemplos generalizados a la conjetura de Seifert". Annals of Mathematics . Segunda serie. 143 (3 ) : 547– 576. arXiv : math/9802040 . doi : 10.2307/2118536 . JSTOR 2118536. MR 1394969. S2CID 16309410 .   
• Kuperberg, Krystyna (1994). "Un contraejemplo suave a la conjetura de Seifert". Annals of Mathematics . Segunda serie. 140 (3): 723– 732. doi : 10.2307/2118623 . JSTOR 2118623 . MR 1307902 .  
• Schweitzer, Paul A. (1974). "Contraejemplos a la conjetura de Seifert y apertura de hojas cerradas de foliaciones". Annals of Mathematics . 100 (2): 386– 400. doi : 10.2307/1971077 . JSTOR 1971077 . 
• Seifert, Herbert (1950). "Curvas integrales cerradas en el espacio tridimensional y deformaciones isotópicas bidimensionales". Actas de la Sociedad Matemática Americana . 1 (3): 287– 302. doi : 10.2307/2032372 . JSTOR 2032372 . 

• Kuperberg, Krystyna (1999). "Sistemas dinámicos aperiódicos" (PDF) . Notices of the AMS . 46 (9): 1035– 1040.