espacio de fibras de Seifert

Un espacio fibrado de Seifert es una 3-variedad junto con una descomposición como una unión disjunta de círculos. En otras palabras, es un${\displaystyle S^{1}}$-fibrado ( fibrado circular ) sobre un orbifold bidimensional . Muchas 3-variedades son espacios de fibra de Seifert, y dan cuenta de todas las variedades orientadas compactas en 6 de las 8 geometrías de Thurston de la conjetura de geometrización .

Una variedad de Seifert es una 3-variedad cerrada junto con una descomposición en una unión disjunta de círculos (llamados fibras) de tal manera que cada fibra tiene un entorno tubular que forma un toro fibrado estándar.

Un toro fibrado estándar que corresponde a un par de enteros coprimos.${\displaystyle (a,b)}$con${\displaystyle a>0}$es el fibrado de superficie del automorfismo de un disco dado por rotación por un ángulo de${\displaystyle 2\pi b/a}$(con el tejido natural de fibras por círculos). Si${\displaystyle a=1}$la fibra central se llama ordinaria , mientras que si${\displaystyle a>1}$La fibra central se denomina excepcional . Un espacio de fibras de Seifert compacto tiene solo un número finito de fibras excepcionales.

El conjunto de fibras forma un orbifold bidimensional , denotado por B y llamado base —también llamada superficie orbital— de la fibración. Tiene una superficie bidimensional subyacente.${\displaystyle B_{0}}$, pero puede tener algunos puntos de orbifold especiales que corresponden a las fibras excepcionales.

La definición de fibración de Seifert puede generalizarse de varias maneras. A menudo se permite que la variedad de Seifert tenga una frontera (también fibrada por círculos, por lo que es una unión de toros). Al estudiar variedades no orientables, a veces resulta útil permitir que las fibras tengan vecindades que se asemejen al fibrado de superficie de una reflexión (en lugar de una rotación) de un disco, de modo que algunas fibras tengan vecindades que se asemejen a botellas de Klein fibradas, en cuyo caso pueden existir familias uniparamétricas de curvas excepcionales. En ambos casos, la base B de la fibración suele tener una frontera no vacía.

Herbert Seifert clasificó todas las fibraciones de Seifert cerradas en términos de los siguientes invariantes. Variedades de Seifert${\displaystyle M}$se denotan mediante símbolos

${\displaystyle \{b,(\varepsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\dots ,(a_{r},b_{r})\}\,}$

dónde: ${\displaystyle \varepsilon }$es uno de los 6 símbolos:${\displaystyle o_{1},o_{2},n_{1},n_{2},n_{3},n_{4}\,}$, (o Oo, No, NnI, On, NnII, NnIII en la notación original de Seifert) significado:

• ${\displaystyle o_{1}}$si B es orientable y M es orientable.
• ${\displaystyle o_{2}}$si B es orientable y M no es orientable.
• ${\displaystyle n_{1}}$si B no es orientable y M no es orientable y todos los generadores de${\displaystyle \pi _{1}(B)}$preservar la orientación de la fibra.
• ${\displaystyle n_{2}}$si B no es orientable y M es orientable, entonces todos los generadores de${\displaystyle \pi _{1}(B)}$Orientación inversa de la fibra.
• ${\displaystyle n_{3}}$si B no es orientable y M no es orientable y${\displaystyle g\geq 2}$y exactamente un generador de${\displaystyle \pi _{1}(B)}$conserva la orientación de la fibra.
• ${\displaystyle n_{4}}$si B no es orientable y M no es orientable y${\displaystyle g\geq 3}$y exactamente dos generadores de${\displaystyle \pi _{1}(B)}$preservar la orientación de la fibra.

Aquí

• g es el género de la 2-variedad subyacente de la superficie de la órbita.
• b es un número entero, normalizado a 0 o 1 si M no es orientable y normalizado a 0 si además alguna${\displaystyle a_{i}}$es 2.
• ${\displaystyle (a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r})}$son los pares de números que determinan el tipo de cada una de las r órbitas excepcionales. Están normalizados de modo que${\displaystyle 0<b_{i}<a_{i}}$cuando M es orientable y${\displaystyle 0<b_{i}\leq a_{i}/2}$cuando M no es orientable.

La fibración de Seifert del símbolo

${\displaystyle \{b,(\epsilon ,g);(a_{1},b_{1}),\ldots ,(a_{r},b_{r})\}}$

puede construirse a partir del símbolo

${\displaystyle \{0,(\epsilon ,g);\}}$

mediante cirugía para agregar fibras de tipo b y${\displaystyle b_{i}/a_{i}}$.

Si eliminamos las condiciones de normalización, el símbolo se puede cambiar de la siguiente manera:

• Cambiar el signo de ambos${\displaystyle a_{i}}$y${\displaystyle b_{i}}$no tiene ningún efecto.
• Sumando 1 a b y restando${\displaystyle a_{i}}$de${\displaystyle b_{i}}$no tiene efecto. (En otras palabras, podemos sumar números enteros a cada uno de los números racionales)${\displaystyle (b,b_{1}/a_{1},\ldots ,b_{r}/a_{r}}$siempre que su suma permanezca constante.)
• Si el colector no es orientable, cambiar el signo de${\displaystyle b_{i}}$no tiene ningún efecto.
• Agregar una fibra de tipo (1,0) no tiene efecto. Cada símbolo es equivalente bajo estas operaciones a un símbolo normalizado único. Cuando se trabaja con símbolos no normalizados, el entero b se puede establecer a cero agregando una fibra de tipo${\displaystyle (1,b)}$.

Dos fibraciones de Seifert cerradas, orientadas o no orientables, son isomorfas como fibraciones orientadas o no orientables si y solo si tienen el mismo símbolo normalizado. Sin embargo, a veces es posible que dos variedades de Seifert sean homeomorfas incluso si tienen símbolos normalizados diferentes, porque algunas variedades (como los espacios lente) pueden tener más de un tipo de fibración de Seifert. Además, una fibración orientada bajo un cambio de orientación se convierte en la fibración de Seifert cuyo símbolo tiene el signo de todos los b cambiado, lo que después de la normalización le da el símbolo

${\displaystyle \{-b-r,(\epsilon ,g);(a_{1},a_{1}-b_{1}),\ldots ,(a_{r},a_{r}-b_{r})\}}$

y es homeomorfo a esto como una variedad no orientada.

La suma${\displaystyle b+\sum b_{i}/a_{i}}$es un invariante de fibraciones orientadas, que es cero si y solo si la fibración se vuelve trivial después de tomar una cubierta finita de B.

La característica de Euler del orbifold${\displaystyle \chi (B)}$del orbifold B viene dado por

${\displaystyle \chi (B)=\chi (B_{0})-\sum (1-1/a_{i})}$,

dónde${\displaystyle \chi (B_{0})}$es la característica habitual de Euler de la superficie topológica subyacente${\displaystyle B_{0}}$del orbifold B. El comportamiento de M depende en gran medida del signo de la característica de Euler del orbifold de B.

El grupo fundamental de M encaja en la secuencia exacta.

${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})\rightarrow \pi _{1}(M)\rightarrow \pi _{1}(B)\rightarrow 1}$

dónde${\displaystyle \pi _{1}(B)}$es el grupo fundamental del orbifold de B (que no es el mismo que el grupo fundamental de la variedad topológica subyacente ). La imagen del grupo${\displaystyle \pi _{1}(S^{1})}$es cíclico, normal y generado por el elemento h representado por cualquier fibra regular, pero el mapeo de π ₁ ( S ¹ ) a π ₁ ( M ) no siempre es inyectivo.

El grupo fundamental de M tiene la siguiente presentación mediante generadores y relaciones:

B orientable:

${\displaystyle \langle u_{1},v_{1},...u_{g},v_{g},q_{1},...q_{r},h|u_{i}h=h^{\epsilon }u_{i},v_{i}h=h^{\epsilon }v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}[u_{1},v_{1}]...[u_{g},v_{g}]=h^{b}\rangle }$

donde ε es 1 para el tipo o ₁ y es − 1 para el tipo o ₂ .

B no orientable:

${\displaystyle \langle v_{1},...,v_{g},q_{1},...q_{r},h|v_{i}h=h^{\epsilon _{i}}v_{i},q_{i}h=hq_{i},q_{j}^{a_{j}}h^{b_{j}}=1,q_{1}...q_{r}v_{1}^{2}...v_{g}^{2}=h^{b}\rangle }$

donde ε _i es 1 o − 1 dependiendo de si el generador correspondiente v _i conserva o invierte la orientación de la fibra. (Así, todos los ε _i son 1 para el tipo n ₁ , todos − 1 para el tipo n ₂ , solo el primero es 1 para el tipo n ₃ , y solo los dos primeros son 1 para el tipo n ₄ ).

En la lista siguiente se muestran los símbolos normalizados de las fibraciones de Seifert con característica de Euler de orbifold positiva. Estas variedades de Seifert suelen tener diversas fibraciones. Presentan una geometría de Thurston esférica ^si el grupo fundamental es finito, y una geometría de Thurston S² × R si el grupo fundamental es infinito. De forma equivalente, la geometría es S² ^× R si la variedad no es orientable o si b + Σ b _i / a _i = 0, y esférica en caso contrario.

{ b ; ( o ₁ , 0);} ( b integral) es S ² × S ¹ para b =0, de lo contrario un espacio lente L ( b ,1). En particular, {1; ( o ₁ , 0);} = L (1,1) es la 3-esfera.

{ b ; ( o ₁ , 0);( a ₁ , b ₁ )} ( b integral) es el espacio lente L ( ba ₁ + b ₁ , a ₁ ).

{ b ; ( o ₁ , 0);( a ₁ , b ₁ ), ( a ₂ , b ₂ )} ( b integral) es S ² × S ¹ si ba ₁ a ₂ + a ₁ b ₂ + a ₂ b ₁ = 0, de lo contrario el espacio lente L ( ba ₁ a ₂ + a ₁ b ₂ + a ₂ b ₁ , ma ₂ + nb ₂ ) donde ma ₁ − n ( ba ₁ + b ₁ ) = 1.

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (2, 1), ( a ₃ , b ₃ )} ( b integral) Esta es la variedad prismática con grupo fundamental de orden 4 a ₃ |( b +1) a ₃ + b ₃ | y primer grupo de homología de orden 4|( b +1) a ₃ + b ₃ |.

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (3, b ₃ )} ( b integral) El grupo fundamental es una extensión central del grupo tetraédrico de orden 12 por un grupo cíclico .

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (4, b ₃ )} ( b integral) El grupo fundamental es el producto de un grupo cíclico de orden |12 b +6+4 b ₂ + 3 b ₃ | y una doble cubierta de orden 48 del grupo octaédrico de orden 24.

{ b ; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, b ₂ ), (5, b ₃ )} ( b integral) El grupo fundamental es el producto de un grupo cíclico de orden m =|30 b +15+10 b ₂ +6 b ₃ | y el recubrimiento doble perfecto de orden 120 del grupo icosaédrico. Las variedades son cocientes de la esfera de homología de Poincaré por grupos cíclicos de orden m . En particular, { − 1; ( o ₁ , 0);(2, 1), (3, 1), (5, 1)} es la esfera de Poincaré.

{ b ; ( n ₁ , 1);} ( b es 0 o 1.) Estas son las 3-variedades no orientables con geometría S ² × R. Si b es par, es homeomorfa al plano proyectivo multiplicado por el círculo; de lo contrario, es homeomorfa a un fibrado de superficies asociado a un automorfismo de inversión de orientación de la 2-esfera.

{ b ; ( n ₁ , 1);( a ₁ , b ₁ )} ( b es 0 o 1.) Estas son las 3-variedades no orientables con geometría S ² × R. Si ba ₁ + b ₁ es par, esto es homeomorfo al plano proyectivo por el círculo; de lo contrario, es homeomorfo a un fibrado de superficies asociado a un automorfismo de inversión de orientación de la 2-esfera.

{ b ; ( n ₂ , 1);} ( b integral.) Esta es la variedad prismática con grupo fundamental de orden 4| b | y primer grupo de homología de orden 4, excepto para b =0 cuando es una suma de dos copias del espacio proyectivo real, y | b |=1 cuando es el espacio lente con grupo fundamental de orden 4.

{ b ; ( n ₂ , 1);( a ₁ , b ₁ )} ( b integral.) Esta es la variedad prismática (única) con grupo fundamental de orden 4 a ₁ | ba ₁ + b ₁ | y primer grupo de homología de orden 4 a ₁ .

Los símbolos normalizados de las fibraciones de Seifert con característica de Euler de orbifold cero se dan en la lista a continuación. Las variedades tienen geometría de Thurston euclidiana si no son orientables o si b + Σ b _i / a _i = 0, y geometría nula en caso contrario. Equivalentemente, la variedad tiene geometría euclidiana si y solo si su grupo fundamental tiene un grupo abeliano de índice finito. Hay 10 variedades euclidianas, pero cuatro de ellas tienen dos fibraciones de Seifert diferentes. Todos los fibrados de superficie asociados a automorfismos del 2-toro de traza 2, 1, 0, − 1 o − 2 son fibraciones de Seifert con característica de Euler de orbifold cero (los de otros automorfismos ( Anosov ) no son espacios fibrados de Seifert, pero tienen geometría sol ). Las variedades con geometría nula tienen todas una única fibración de Seifert y se caracterizan por sus grupos fundamentales. Todos los espacios totales son acíclicos.

{ b ; ( o ₁ , 0); (3, b ₁ ), (3, b ₂ ), (3, b ₃ )} ( b integral, b _i es 1 o 2)   Para b + Σ b _i / a _i = 0 este es un fibrado euclidiano 2-toro orientado sobre el círculo, y es el fibrado de superficie asociado a una rotación de orden 3 (traza − 1) del 2-toro.

{ b ; ( o ₁ , 0); (2,1), (4, b ₂ ), (4, b ₃ )} ( b integral, b _i es 1 o 3)   Para b + Σ b _i / a _i = 0 este es un fibrado euclidiano 2-toro orientado sobre el círculo, y es el fibrado de superficie asociado a una rotación de orden 4 (traza 0) del 2-toro.

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (3, b ₂ ), (6, b ₃ )} ( b integral, b ₂ es 1 o 2, b ₃ es 1 o 5)   Para b + Σ b _i / a _i = 0 este es un fibrado euclidiano 2-toro orientado sobre el círculo, y es el fibrado de superficie asociado a una rotación de orden 6 (traza 1) del 2-toro.

{ b ; ( o ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} ( b integral)   Estos son haces de 2-toros orientados para automorfismos de traza − 2 del 2-toro. Para b = − 2, este es un haz de 2-toros euclidiano orientado sobre el círculo (el haz de superficie asociado a una rotación de orden 2 del 2-toro) y es homeomorfo a {0; ( n ₂ , 2);}.

{ b ; ( o ₁ , 1); } ( b integral)   Este es un fibrado de 2-toros orientado sobre el círculo, dado como el fibrado de superficie asociado a un automorfismo de traza 2 del 2-toro. Para b =0, este es euclidiano y es el 3-toro (el fibrado de superficie asociado al mapa identidad del 2-toro).

{ b ; ( o ₂ , 1); } ( b es 0 o 1)   Dos haces de botellas de Klein euclidianos no orientables sobre el círculo. La primera homología es Z + Z + Z /2 Z si b =0, y Z + Z si b =1. El primero es la botella de Klein por S ¹ y el otro es el haz de superficie asociado a una torsión de Dehn de la botella de Klein . Son homeomorfos a los haces de toro { b ; ( n ₁ , 2);}.

{0; ( n ₁ , 1); (2, 1), (2, 1)}   Homeomorfo al fibrado de botella de Klein euclidiano no orientable {1; ( n ₃ , 2);}, con primera homología Z + Z /4 Z .

{ b ; ( n ₁ , 2); } ( b es 0 o 1)   Estos son los haces de superficie euclidianos no orientables asociados con automorfismos de orden 2 que invierten la orientación de un toro de 2 dimensiones sin puntos fijos. La primera homología es Z + Z + Z /2 Z si b =0, y Z + Z si b =1. Son homeomorfos a los haces de botella de Klein { b ; ( o ₂ , 1);}.

{ b ; ( n ₂ , 1); (2, 1), (2, 1)} ( b integral)   Para b = − 1 esto es euclidiano orientado.

{ b ; ( n ₂ , 2); } ( b integral)   Para b =0 esta es una variedad euclidiana orientada, homeomorfa al fibrado 2-toro { − 2; ( o ₁ , 0); (2, 1), (2, 1), (2, 1), (2, 1)} sobre el círculo asociado a una rotación de orden 2 del 2-toro.

{ b ; ( n ₃ , 2); } ( b es 0 o 1)   Los otros dos haces de botellas de Klein euclidianos no orientables. El que tiene b = 1 es homeomorfo a {0; ( n ₁ , 1); (2, 1), (2, 1)}. La primera homología es Z + Z /2 Z + Z /2 Z si b =0, y Z + Z /4 Z si b =1. Estos dos haces de botellas de Klein son haces de superficie asociados al homeomorfismo y y al producto de este y la torsión.

Este es el caso general. Todas estas fibraciones de Seifert están determinadas salvo isomorfismo por su grupo fundamental. Los espacios totales son asféricos (es decir, todos los grupos de homotopía superiores se anulan). Tienen geometrías de Thurston del tipo recubrimiento universal de SL ₂ ( R ) , a menos que algún recubrimiento finito se descomponga como un producto, en cuyo caso tienen geometrías de Thurston del tipo H ₂ × R . Esto sucede si la variedad no es orientable o b + Σ b _i / a _i = 0.

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• Peter Orlik , Variedades de Seifert , Lecture Notes in Mathematics 291, Springer (1972).
• Frank Raymond , Clasificación de las acciones del círculo en 3-variedades , Transactions of the American Mathematical Society 31, (1968) 51–87.
• William H. Jaco , Lecciones sobre topología de variedades tridimensionales ISBN 0-8218-1693-4
• William H. Jaco , Peter B. Shalen , Seifert. Espacios fibrados en tres variedades: Serie de memorias n.° 220 ( Memorias de la Sociedad Matemática Americana ; vol. 21, n.° 220) ISBN 0-8218-2220-9
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