La identidad de Selberg

En teoría de números , la identidad de Selberg es una identidad aproximada que involucra logaritmos de números primos , hallada por Atle Selberg . Esta identidad constituye el punto de partida crucial en la primera demostración elemental del teorema de los números primos , a la que llegaron conjuntamente ^{[ 1 ]} Selberg y Paul Erdős .

Existen varias formas diferentes pero equivalentes de la identidad de Selberg. Una de ellas es

${\displaystyle \sum _{p<x}(\log p)^{2}+\sum _{pq<x}\log p\log q=2x\log x+O(x)}$

donde las sumas se realizan sobre los números primos p y q .

La expresión de aspecto extraño en el lado izquierdo de la identidad de Selberg es (salvo términos menores) la suma

${\displaystyle \sum _{n<x}c_{n}}$

donde los números

${\displaystyle c_{n}=\Lambda (n)\log n+\sum _ {d\,|\,n}\Lambda (d)\Lambda (n/d)}$

son los coeficientes de la serie de Dirichlet

${\displaystyle {\frac {\zeta ^{\prime \prime }(s)}{\zeta (s)}}=\left({\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\right)^{\prime }+\left({\frac {\zeta ^{\prime }(s)}{\zeta (s)}}\right)^{2}=\sum {\frac {c_{n}}{n^{s}}}.}$

Esta función tiene un polo de orden 2 en s  = 1 con coeficiente 2, que da el término dominante 2 x log( x ) en la expansión asintótica de${\displaystyle \sum _{n<x}c_{n}.}$

La identidad de Selberg a veces también se refiere a la siguiente identidad de suma de divisores que involucra la función de von Mangoldt y la función de Möbius cuando${\displaystyle n\geq 1}$: ^{[ 2 ]}

${\displaystyle \Lambda (n)\log(n)+\sum _{d\,|\,n}\Lambda (d)\Lambda \!\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum _{d\,|\,n}\mu (d)\log ^{2}\left({\frac {n}{d}}\right).}$

Esta variante de la identidad de Selberg se demuestra utilizando el concepto de tomar derivadas de funciones aritméticas definidas por${\displaystyle f^{\prime }(n)=f(n)\cdot \log(n)}$en la Sección 2.18 del libro de Apostol (véase también este enlace ).

• Pisot, Charles (1949), Démonstration élémentaire du théorème des nombres premiers , Séminaire Bourbaki, vol.  1, señor 1605145 
• Selberg, Atle (1949), "Una demostración elemental del teorema de los números primos", Ann. of Math. , 2, 50 (2): 305– 313, doi : 10.2307/1969455 , JSTOR 1969455 , MR 0029410