Tamiz Selberg

En teoría de números , la criba de Selberg es una técnica para estimar el tamaño de "conjuntos tamizados" de números enteros positivos que satisfacen un conjunto de condiciones que se expresan mediante congruencias . Fue desarrollada por Atle Selberg en la década de 1940.

En términos de la teoría de tamices, el tamiz de Selberg es de tipo combinatorio : es decir, se deriva de un uso cuidadoso del principio de inclusión-exclusión . Selberg reemplazó los valores de la función de Möbius que surgen en este caso por un sistema de pesos que luego se optimizan para ajustarse al problema dado. El resultado proporciona un límite superior para el tamaño del conjunto tamizado.

Sea un conjunto de números enteros positivos y sea un conjunto de primos. Sea el conjunto de elementos de divisible por cuando es un producto de primos distintos de . Además, sea él mismo. Sea un número real positivo y sea el producto de los primos en los que son . El objetivo del tamiz es estimar ${\estilo de visualización A}$${\displaystyle \leq x}$${\estilo de visualización P}$$Estilo de visualización A_{d}}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización d}$${\estilo de visualización P}$$Estilo de visualización A_{1}$${\estilo de visualización A}$${\estilo de visualización z}$${\estilo de visualización P(z)}$${\estilo de visualización P}$${\displaystyle \leq z}$

${\displaystyle S(A,P,z)=\left\vert A\setminus \bigcup _{p\mid P(z)}A_{p}\right\vert .}$

Suponemos que | A _d | puede estimarse mediante

${\displaystyle \left\vert A_{d}\right\vert ={\frac {1}{f(d)}}X+R_{d}.}$

donde f es una función multiplicativa y X   = | A |. Sea la función g obtenida a partir de f por inversión de Möbius , es decir

${\displaystyle g(n)=\sum _{d\mid n}\mu (d)f(n/d)}$

${\displaystyle f(n)=\sum _{d\mid n}g(d)}$

donde μ es la función de Möbius .

${\displaystyle V(z)=\sum _{\begin{smallmatrix}d<z\\d\mid P(z)\end{smallmatrix}}{\frac {1}{g(d)}}.}$

Entonces

${\displaystyle S(A,P,z)\leq {\frac {X}{V(z)}}+O\left({\sum _{\begin{smallmatrix}d_{1},d_{2}<z\\d_{1},d_{2}\mid P(z)\end{smallmatrix}}\left\vert R_{[d_{1},d_{2}]}\right\vert }\right)}$

donde denota el mínimo común múltiplo de y . A menudo es útil estimar mediante el límite ${\estilo de visualización [d_{1},d_{2}]}$$estilo de visualización d_{1}}$$estilo de visualización d_{2}$${\displaystyle V(z)}$

${\displaystyle V(z)\geq \sum _{d\leq z}{\frac {1}{f(d)}}.\,}$

• El teorema de Brun-Titchmarsh sobre el número de primos en la progresión aritmética ;
• El número de n ≤ x tales que n es coprimo a φ( n ) es asintótico a e ^−γ x / log log log ( x ) .

• Cojocaru, Alina Carmen ; Murty, M. Ram (2005). Introducción a los métodos de tamizado y sus aplicaciones . Textos para estudiantes de la London Mathematical Society. Vol. 66. Cambridge University Press. págs. 113–134. ISBN 0-521-61275-6.Zbl 1121.11063  .
• Diamond, Harold G.; Halberstam, Heini (2008). Un método de tamiz de dimensiones superiores: con procedimientos para calcular funciones de tamiz . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 177. Con William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89487-6.Zbl 1207.11099  .
• Grebas, George (2001). Tamices en teoría de números . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Seguir. vol. 43. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-41647-1.Zbl 1003.11044  .
• Halberstam, Heini ; Richert, HE (1974). Métodos de tamizado . Monografías de la London Mathematical Society. Vol. 4. Academic Press. ISBN. 0-12-318250-6.Zbl 0298.10026  .
• Hooley, Christopher (1976). Aplicaciones de los métodos de criba a la teoría de números . Cambridge Tracts in Mathematics. Vol. 70. Cambridge University Press. Págs. 7–12. ISBN. 0-521-20915-3.Zbl 0327.10044  .
• Selberg, Atle (1947). "Sobre un método elemental en la teoría de los números primos". Norské Vid. Selsk. Porh. Trondheim . 19 : 64–67. ISSN  0368-6302. Zbl  0041.01903.