Número autodescriptivo

En matemáticas , un número autodescriptivo es un entero m en una base b dada que tiene b dígitos de longitud, y cada dígito d en la posición n (el dígito más significativo está en la posición 0 y el menos significativo en la posición b −1) cuenta cuántas instancias del dígito n hay en m .

Por ejemplo, en base 10, el número 6210001000 es autodescriptivo ^{[ 1 ]} por las siguientes razones:

En base 10, el número tiene 10 dígitos, lo que indica su base; contiene 6 en la posición 0, lo que indica que hay seis 0 en 6210001000; contiene 2 en la posición 1, lo que indica que hay dos 1 en 6210001000; contiene 1 en la posición 2, lo que indica que hay un 2 en 6210001000; contiene 0 en la posición 3, lo que indica que no hay ningún 3 en 6210001000; contiene 0 en la posición 4, lo que indica que no hay ningún 4 en 6210001000; contiene 0 en la posición 5, lo que indica que no hay ningún 5 en 6210001000; contiene 1 en la posición 6, lo que indica que hay un 6 en 6210001000; Contiene 0 en la posición 7, lo que indica que no hay ningún 7 en 6210001000; contiene 0 en la posición 8, lo que indica que no hay ningún 8 en 6210001000; contiene 0 en la posición 9, lo que indica que no hay ningún 9 en 6210001000. ^{[ 2 ]}

No hay números autodescriptivos en bases 2, 3 o 6. En bases 7 y superiores, hay exactamente un número autodescriptivo:${\displaystyle (b-4)b^{b-1}+2b^{b-2}+b^{b-3}+b^{3}}$, que tiene b −4 instancias del dígito 0, dos instancias del dígito 1, una instancia del dígito 2, una instancia del dígito b – 4 y ninguna instancia de ningún otro dígito. La siguiente tabla enumera algunos números autodescriptivos en algunas bases seleccionadas:

Según los datos de la tabla, parece que todos los números autodescriptivos tienen una suma de dígitos igual a su base, y que esta suma es múltiplo de dicha base. El primer hecho se deduce fácilmente de que la suma de los dígitos es igual al número total de dígitos, que a su vez es igual a la base, según la definición de número autodescriptivo.

Que un número autodescriptivo en base b debe ser un múltiplo de esa base (o equivalentemente, que el último dígito del número autodescriptivo debe ser 0) se puede probar por contradicción de la siguiente manera: supongamos que existe un número autodescriptivo m en base b que tiene b dígitos pero no es un múltiplo de b . El dígito en la posición b – 1 debe ser al menos 1, lo que significa que hay al menos una instancia del dígito b – 1 en m . En cualquier posición x donde caiga ese dígito b – 1, debe haber al menos b – 1 instancias del dígito x en m . Por lo tanto, tenemos al menos una instancia del dígito 1 y b – 1 instancias de x . Si x > 1, entonces m tiene más de b dígitos, lo que lleva a una contradicción de nuestra afirmación inicial. Y si x = 0 o 1, eso también lleva a una contradicción.

De ello se deduce que un número autodescriptivo en base b es un número de Harshad en base b .

Una generalización de los números autodescriptivos, denominados números autobiográficos , permite menos dígitos que la base, siempre que los dígitos incluidos en el número sean suficientes para describirlo completamente. Por ejemplo, en base 10, 3211000 tiene 3 ceros, 2 unos, 1 dos y 1 tres. Cabe señalar que esto depende de que se permita incluir tantos ceros finales como se desee, sin que estos aporten información adicional sobre los demás dígitos presentes. ^{[ 5 ]}

Como los ceros iniciales no se escriben, cada número autobiográfico contiene al menos un cero, de modo que su primer dígito no es cero.

• Khovanova, Tanya (23 de agosto de 2018). "¿Puedes resolver el enigma de Leonardo da Vinci?" . Lección sobre números autobiográficos . TED-Ed.