Autosimilitud del análisis de datos de red

• ${\displaystyle X}$Se denomina proceso exactamente autosimilar si existe un parámetro autosimilar.${\displaystyle H}$de tal manera que${\displaystyle X_{k}^{(m)}}$tiene la misma distribución que${\displaystyle X}$. Un ejemplo de proceso exactamente autosimilar con${\displaystyle H}$es Ruido Gaussiano Fraccional (FGN) con${\displaystyle {\frac {1}{2}}<H<1}$.

Definición: Ruido gaussiano fraccional (FGN)

${\displaystyle X(t)=B_{H}(t+1)-B_{H}(t),~\forall t\geq 1}$se denomina ruido gaussiano fraccional, donde${\displaystyle B_{H}(\cdot )}$es un movimiento browniano fraccional . ^{[ 1 ]}

• ${\displaystyle X}$Se denomina proceso autosimilar de segundo orden exacto si existe un parámetro autosimilar.${\displaystyle H}$de tal manera que${\displaystyle X_{k}^{(m)}}$tiene la misma varianza y autocorrelación que${\displaystyle X}$.

• ${\displaystyle X}$se denomina proceso autosimilar asintótico de segundo orden con parámetro autosimilar${\displaystyle H}$si${\displaystyle \gamma ^{(m)}(t)\to {\frac {1}{2}}[(t+1)^{2H}-2t^{2H}+(t-1)^{2H}]}$como${\displaystyle m\to \infty }$,${\displaystyle ~\forall t=1,2,3,\ldots }$

Suponer${\displaystyle X(t)}$sea ​​un proceso débilmente estacionario (estacionario de segundo orden) con media${\displaystyle \mu }$y varianza${\displaystyle \sigma ^{2}}$. La función de autocorrelación (FAC) del retardo${\displaystyle t}$es dado por${\displaystyle \gamma (t)={\mathrm {cov} (X(h),X(h+t)) \over \sigma ^{2}}={E[(X(h)-\mu )(X(h+t)-\mu )] \over \sigma ^{2}}}$

Definición:

Se dice que un proceso débilmente estacionario es de "dependencia de largo alcance" si${\displaystyle \sum _{t=0}^{\infty }|\gamma (t)|=\infty }$

Un proceso que satisface${\displaystyle \gamma (t)\rightarrow t^{-\beta }L(t)}$como${\displaystyle t\to \infty }$Se dice que tiene dependencia de largo alcance. La función de densidad espectral de dependencia de largo alcance sigue una ley de potencias cerca del origen. De manera equivalente a${\displaystyle \gamma (t)\rightarrow t^{-\beta }L(t)}$,${\displaystyle X}$tiene dependencia de largo alcance si la función de densidad espectral de la función de autocorrelación,${\displaystyle f_{t}(w)=\sum _{t=0}^{\infty }\gamma (t)e^{iwt}}$, tiene la forma de${\displaystyle w^{-\gamma }L(w)}$como${\displaystyle w\to 0}$dónde${\displaystyle 0<\gamma <1}$,${\displaystyle L}$está variando lentamente en 0.

ver también

${\displaystyle X^{(m)}={\frac {1}{m}}(X_{1}+\cdot \cdot \cdot +X_{m})}$ Cuando una función de autocorrelación de un proceso autosimilar satisface${\displaystyle \gamma (t)\rightarrow t^{-\beta }L(t)}$como${\displaystyle t\to \infty }$, eso significa que también satisface${\displaystyle Var(X^{(m)})\to am^{-\beta }}$como${\displaystyle m\to \infty }$, dónde${\displaystyle a}$es una constante positiva finita independiente de m, y 0<β<1.

Supongamos que el proceso subyacente${\displaystyle X}$es ruido gaussiano fraccional. Considere la serie${\displaystyle X_{(1)},\ldots ,X_{(n)}}$y dejar${\displaystyle Y_{(n)}=\sum _{i=1}^{n}X_{(i)}}$.

La varianza muestral de${\displaystyle X_{(i)}}$es${\displaystyle S^{2}(n)={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}X_{(i)}^{2}-({\frac {1}{n}})^{2}Y_{n}^{2}}$

Definición: Estadístico R/S

${\displaystyle {\frac {R}{S}}(n)={\frac {1}{S(n)}}[\max _{0\leq t\leq n}(Y_{t}-{\frac {t}{n}}Y_{n})-\min _{0\leq t\leq n}(Y_{t}-{\frac {t}{n}}Y_{n})]}$

Si${\displaystyle X_{(i)}}$es FGN, entonces${\displaystyle E({\frac {R}{S}}(n))\to C_{H}\times n^{H}}$ Considere ajustar un modelo de regresión  : ${\displaystyle \log {\frac {R}{S}}(n)=\log(C_{H})+H\log(n)+\epsilon _{n}}$, dónde ${\displaystyle \epsilon _{n}\thicksim N(0,\sigma ^{2})}$ En particular para una serie temporal de longitud${\displaystyle N}$dividir los datos de la serie temporal en${\displaystyle k}$grupos cada uno de tamaño${\displaystyle {\frac {N}{k}}}$, calcular${\displaystyle {\frac {R}{S}}(n)}$para cada grupo. Por lo tanto, para cada n tenemos${\displaystyle k}$pares de datos (${\displaystyle \log(n),\log {\frac {R}{S}}(n)}$).Hay${\displaystyle k}$puntos por cada${\displaystyle n}$, por lo que podemos ajustar un modelo de regresión para estimar${\displaystyle H}$Con mayor precisión, si la pendiente de la línea de regresión está entre 0,5 y 1, se trata de un proceso autosimilar.

La varianza de la media muestral viene dada por${\displaystyle Var({\bar {X}}_{n})\to cn^{2H-2},~\forall c>0}$ Para estimar H, calcule las medias muestrales .${\displaystyle {\bar {X}}_{1},{\bar {X}}_{2},\cdots ,{\bar {X}}_{m_{k}}}$para${\displaystyle m_{k}}$subserie de longitud${\displaystyle k}$. La media general se puede obtener mediante${\displaystyle {\bar {X}}(k)={\frac {1}{m_{k}}}\sum _{i=1}^{m_{k}}{\bar {X}}_{i}(k)}$, varianza de la muestra${\displaystyle S^{2}(k)={\frac {1}{m_{k}-1}}\sum _{i=1}^{m_{k}}({\bar {X}}_{i}(k)-{\bar {X}}(k))^{2}}$Los gráficos de varianza-tiempo se obtienen graficando${\displaystyle \log S^{2}(k)}$contra ${\displaystyle \log k}$y podemos ajustar una línea simple de mínimos cuadrados a través de los puntos resultantes en el plano, ignorando los valores pequeños de k.

Para valores grandes de${\displaystyle k}$Se espera que los puntos en el gráfico estén dispersos alrededor de una línea recta con pendiente negativa.${\displaystyle 2H-2}$Para la dependencia o independencia de corto alcance entre las observaciones, la pendiente de la línea recta es igual a -1. La autosimilitud se puede inferir a partir de los valores de la pendiente estimada, que está asintóticamente entre -1 y 0, y una estimación del grado de autosimilitud viene dada por${\displaystyle {\hat {H}}=1+{\frac {1}{2}}(slope).}$

El estimador de máxima verosimilitud aproximado de Whittle ( MLE ) se aplica para resolver el parámetro de Hurst a través de la densidad espectral de${\displaystyle X}$No es solo una herramienta para visualizar el parámetro de Hurst, sino también un método para realizar inferencias estadísticas sobre los parámetros a través de las propiedades asintóticas del MLE. En particular,${\displaystyle X}$sigue un proceso gaussiano . Sea la densidad espectral de${\displaystyle X}$, ${\displaystyle f_{x}(w;\theta )=\sigma _{\epsilon }^{2}f_{x}(w;(1,\eta ))}$, dónde ${\displaystyle \theta =(\sigma _{\epsilon }^{2},\eta )=(\sigma _{\epsilon }^{2},H,\theta _{3},\ldots ,\theta _{k}),H={\frac {\gamma +1}{2}}}$, y${\displaystyle \theta _{3},\ldots ,\theta _{k}}$construir un modelo de autorregresión (AR) de series temporales de corto alcance, es decir${\displaystyle X_{j}=\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}X_{j-i}+\epsilon _{j}}$, con${\displaystyle Var(\epsilon _{j})=\sigma _{\epsilon }^{2}}$.

Por lo tanto, el estimador de Whittle${\displaystyle {\hat {\eta }}}$de${\displaystyle \eta }$minimiza la función${\displaystyle Q(\eta )=\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {I(w)}{f(w;(1,\eta ))}}\,dw}$ , dónde${\displaystyle I(w)}$denota el periodograma de X como${\displaystyle (2\pi n)^{-1}|\sum _{j=1}^{n}X_{j}e^{iwj}|^{2}}$y${\displaystyle {\hat {\sigma }}^{2}=\int _{-\pi }^{\pi }{\frac {I(w)}{f(w;(1,{\hat {\eta }}))}}\,dw}$Estas integraciones pueden evaluarse mediante la suma de Riemann .

Entonces${\displaystyle n^{1/2}({\hat {\theta }}-\theta )}$sigue asintóticamente una distribución normal si${\displaystyle X_{j}}$puede expresarse como una forma de modelo de media móvil infinita.

Para estimar${\displaystyle H}$Primero, hay que calcular este periodograma. Dado que ${\displaystyle I_{n}(w)}$es un estimador de la densidad espectral, una serie con dependencia de largo alcance debería tener un periodograma, que es proporcional a${\displaystyle |\lambda |^{1-2H}}$cerca del origen. El gráfico del periodograma se obtiene graficando ${\displaystyle \log(I_{n}(w))}$contra${\displaystyle \log(w)}$. Luego, ajustando un modelo de regresión de la${\displaystyle \log(I_{n}(w))}$en el${\displaystyle \log(w)}$debería dar una pendiente de${\displaystyle {\hat {\beta }}}$. La pendiente de la línea recta ajustada es también la estimación de${\displaystyle 1-2H}$. Por lo tanto, la estimación${\displaystyle {\hat {H}}}$se obtiene.

Nota: Existen dos problemas comunes al aplicar el método del periodograma. Primero, si los datos no siguen una distribución gaussiana, la transformación de los datos puede resolver este tipo de problemas. Segundo, el espectro de la muestra que se desvía de la densidad espectral supuesta es otro problema. Se sugiere un método de agregación para resolver este problema.${\displaystyle X}$es un proceso gaussiano y la función de densidad espectral de${\displaystyle X}$Satisface${\displaystyle w^{-\gamma }L(w)}$como${\displaystyle w\to \infty }$, la función, ${\displaystyle m^{-H}L^{-{\frac {1}{2}}}(m)\sum _{i=(j-1)m+1}^{m}k(X_{i}-E(|X_{i}|)),~j=1,2,\ldots ,[{\tfrac {n}{m}}]}$, converge en distribución a FGN como${\displaystyle m\to \infty }$.