Automodulación de fase

La automodulación de fase (SPM) es un efecto óptico no lineal de la interacción luz-materia . Un pulso de luz ultracorto, al viajar en un medio, induce una variación en el índice de refracción del medio debido al efecto Kerr óptico . ^{[ 1 ]} Esta variación en el índice de refracción produce un cambio de fase en el pulso, lo que conlleva una modificación en el espectro de frecuencia del pulso .

La automodulación de fase es un efecto importante en sistemas ópticos que utilizan pulsos de luz cortos e intensos, como los láseres y los sistemas de comunicación por fibra óptica . ^{[ 2 ]}

También se ha informado de la automodulación de fase para ondas sonoras no lineales que se propagan en películas delgadas biológicas, donde la modulación de fase resulta de las propiedades elásticas variables de las películas lipídicas. ^{[ 3 ]}

La evolución a lo largo de la distancia z del campo eléctrico de paso bajo equivalente A(z) obedece a la ecuación de Schrödinger no lineal que, en ausencia de dispersión , es: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {dA(z)}{dz}}=-j\gamma \left|A(z)\right|^{2}A(z)}$

donde j es la unidad imaginaria y γ es el coeficiente no lineal del medio. El término cúbico no lineal del lado derecho se llama efecto Kerr y se multiplica por -j según la notación de ingeniería utilizada en la definición de la transformada de Fourier .

La potencia del campo eléctrico es invariante a lo largo del eje z , ya que:

${\displaystyle {\frac {d|A|^{2}}{dz}}={\frac {dA}{dz}}A^{*}+A{\frac {dA^{*}}{dz}}=0}$

donde * denota conjugación.

Dado que la potencia es invariante, el efecto Kerr solo puede manifestarse como una rotación de fase. En coordenadas polares, con${\displaystyle A=|A|e^{j\varphi }}$, es:

${\displaystyle {\frac {d|A|e^{j\varphi }}{dz}}=\underbrace {\frac {d|A|}{dz}} _{=0}e^{j\varphi }+j|A|e^{j\varphi }{\frac {d\varphi }{dz}}=-j\gamma \left|A(z)\right|^{3}e^{j\varphi }}$

de tal manera que:

${\displaystyle {\frac {d\varphi }{dz}}=-\gamma |A|^{2}.}$

Por lo tanto, la fase φ en la coordenada z es:

${\displaystyle \varphi (z)=\varphi (0)-\underbrace {\gamma \left|A(0)\right|^{2}z} _{\mathrm {SPM} }.}$

Esta relación pone de manifiesto que la automodulación de fase (SPM) es inducida por la potencia del campo eléctrico.

En presencia de atenuación α, la ecuación de propagación es:

${\displaystyle {\frac {dA(z)}{dz}}=-{\frac {\alpha }{2}}A(z)-j\gamma \left|A(z)\right|^{2}A(z)}$

y la solución es:

${\displaystyle A(z)=A(0)e^{-{\frac {\alpha }{2}}z}e^{-j\gamma |A(0)|^{2}L_{\mathrm {eff} }(z)}}$

dónde${\displaystyle L_{\mathrm {eff} }(z)}$se denomina longitud efectiva ^{[ 4 ]} y se define por:

${\displaystyle L_{\mathrm {eff} }(z)=\int _{0}^{z}e^{-\alpha x}\mathrm {d} x={\frac {1-e^{-\alpha z}}{\alpha }}.}$

Por lo tanto, con la atenuación, el SPM no crece indefinidamente a lo largo de la distancia en un medio homogéneo, sino que finalmente se satura a:

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow +\infty }\varphi (z)=\varphi (0)-\gamma |A(0)|^{2}{\frac {1}{\alpha }}.}$

En presencia de dispersión, el efecto Kerr se manifiesta como un desfase solo en distancias cortas, dependiendo de la magnitud de la dispersión.

For an ultrashort pulse with a Gaussian shape and constant phase, the intensity at time t is given by I(t):

${\displaystyle I(t)=I_{0}\exp \left(-{\frac {t^{2}}{\tau ^{2}}}\right)}$

where I₀ is the peak intensity, and τ is half the pulse duration.

If the pulse is travelling in a medium, the optical Kerr effect produces a refractive index change with intensity:

${\displaystyle n(I)=n_{0}+n_{2}\cdot I}$

where n₀ is the linear refractive index, and n₂ is the second-order nonlinear refractive index of the medium.

As the pulse propagates, the intensity at any one point in the medium rises and then falls as the pulse goes past. This will produce a time-varying refractive index:

${\displaystyle {\frac {dn(I)}{dt}}=n_{2}{\frac {dI}{dt}}=n_{2}\cdot I_{0}\cdot {\frac {-2t}{\tau ^{2}}}\cdot \exp \left({\frac {-t^{2}}{\tau ^{2}}}\right).}$

This variation in refractive index produces a shift in the instantaneous phase of the pulse:

${\displaystyle \phi (t)=\omega _{0}t-kz=\omega _{0}t-{\frac {2\pi }{\lambda _{0}}}\cdot n(I)L}$

where ${\displaystyle \omega _{0}}$ and ${\displaystyle \lambda _{0}}$ are the carrier frequency and (vacuum) wavelength of the pulse, and ${\displaystyle L}$ is the distance the pulse has propagated.

The phase shift results in a frequency shift of the pulse. The instantaneous frequency ω(t) is given by:

${\displaystyle \omega (t)={\frac {d\phi (t)}{dt}}=\omega _{0}-{\frac {2\pi L}{\lambda _{0}}}{\frac {dn(I)}{dt}},}$

and from the equation for dn/dt above, this is:

${\displaystyle \omega (t)=\omega _{0}+{\frac {4\pi Ln_{2}I_{0}}{\lambda _{0}\tau ^{2}}}\cdot t\cdot \exp \left({\frac {-t^{2}}{\tau ^{2}}}\right).}$

Plotting ω(t) shows the frequency shift of each part of the pulse. The leading edge shifts to lower frequencies ("redder" wavelengths), trailing edge to higher frequencies ("bluer") and the very peak of the pulse is not shifted. For the centre portion of the pulse (between t = ±τ/2), there is an approximately linear frequency shift (chirp) given by:

${\displaystyle \omega (t)=\omega _{0}+\alpha \cdot t}$

where α is:

${\displaystyle \alpha =\left.{\frac {d\omega }{dt}}\right|_{0}={\frac {4\pi Ln_{2}I_{0}}{\lambda _{0}\tau ^{2}}}.}$

It is clear that the extra frequencies generated through SPM broaden the frequency spectrum of the pulse symmetrically. In the time domain, the envelope of the pulse is not changed, however in any real medium the effects of dispersion will simultaneously act on the pulse.^[5][6] In regions of normal dispersion, the "redder" portions of the pulse have a higher velocity than the "blue" portions, and thus the front of the pulse moves faster than the back, broadening the pulse in time. In regions of anomalous dispersion, the opposite is true, and the pulse is compressed temporally and becomes shorter. This effect can be exploited to some degree (until it digs holes into the spectrum) to produce ultrashort pulse compression.

Se puede realizar un análisis similar para cualquier forma de pulso, como el perfil de pulso de secante hiperbólica al cuadrado (sech ² ) generado por la mayoría de los láseres de pulsos ultracortos .

Si el pulso tiene la intensidad suficiente, el proceso de ensanchamiento espectral de la automodulación de fase (SPM) puede equilibrarse con la compresión temporal debida a la dispersión anómala y alcanzar un estado de equilibrio. El pulso resultante se denomina solitón óptico .

La automodulación de fase ha impulsado numerosas aplicaciones en el campo de los pulsos ultracortos, entre las que se incluyen, por mencionar algunas:

• ensanchamiento espectral ^{[ 7 ]} y supercontinuo
• compresión del pulso temporal ^{[ 8 ]}
• compresión de pulso espectral ^{[ 9 ]}

Las propiedades no lineales de la no linealidad de Kerr también han sido beneficiosas para diversas técnicas de procesamiento de pulsos ópticos, como la regeneración óptica ^{[ 10 ]} o la conversión de longitud de onda. ^{[ 11 ]}

En sistemas monocanal y DWDM ( multiplexación por división de longitud de onda densa ) de larga distancia, la SPM es uno de los efectos no lineales más importantes que limitan el alcance. Se puede reducir mediante: ^{[ 12 ]}

• Disminuir la potencia óptica a costa de disminuir la relación señal-ruido óptica.
• Gestión de la dispersión, porque la dispersión puede mitigar parcialmente el efecto de las partículas en suspensión.

Otros efectos no lineales:

• Modulación de fase cruzada – XPM
• Mezcla de cuatro ondas – FWM
• Inestabilidad modulacional – MI
• Dispersión Raman estimulada – SRS

Aplicaciones de SPM:

• Regenerador Mamyshev 2R
• Supercontinuo