Categoría semiabeliana

En matemáticas , específicamente en teoría de categorías , una categoría semi-abeliana es una categoría pre-abeliana en la que el morfismo inducido${\displaystyle {\overline {f}}:\operatorname {coim} f\rightarrow \operatorname {im} f}$es un bimorfismo , es decir, un monomorfismo y un epimorfismo , para cada morfismo${\displaystyle f}$.

La historia de la noción está entrelazada con la de una categoría cuasi-abeliana , ya que, durante un tiempo, no se sabía si las dos nociones eran distintas (véase categoría cuasi-abeliana#Historia ).

Las dos propiedades utilizadas en la definición pueden caracterizarse mediante varias condiciones equivalentes. ^{[ 1 ]}

Cada categoría semiabeliana tiene una estructura exacta máxima .

Si una categoría semiabeliana no es cuasi-abeliana , entonces la clase de todos los pares núcleo-conúcleo no forma una estructura exacta .

Toda categoría cuasiabeliana es semiabeliana. En particular, toda categoría abeliana es semiabeliana. A continuación se muestran ejemplos de categorías no cuasiabelianas.

• La categoría de espacios bornológicos (posiblemente no Hausdorff ) es semiabeliana. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}
• Dejar${\displaystyle Q}$ser el carcaj

${\displaystyle {\begin{array}{ccc}1&\xrightarrow {} &2&\xleftarrow {} &3\\\downarrow {}&&\downarrow {}&&\downarrow {}\\4&\xrightarrow {} &5&\xleftarrow {} &6\\\end{array}}}$

y${\displaystyle K}$ser un cuerpo . La categoría de módulos proyectivos finitamente generados sobre el álgebra${\displaystyle KQ}$es semiabeliano. ^{[ 5 ]}

Al dividir las dos condiciones en el mapa inducido en la definición, se pueden definir categorías semiabelianas izquierdas exigiendo que${\displaystyle {\overline {f}}}$es un monomorfismo para cada morfismo${\displaystyle f}$. En consecuencia, las categorías semi-abelianas derechas son categorías pre-abelianas tales que${\displaystyle {\overline {f}}}$es un epimorfismo para cada morfismo${\displaystyle f}$. ^{[ 6 ]}

Si una categoría es semi-abeliana por la izquierda y cuasi-abeliana por la derecha , entonces ya es cuasi-abeliana. Lo mismo ocurre si la categoría es semi-abeliana por la derecha y cuasi-abeliana por la izquierda. ^{[ 7 ]}

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