Forma sesquilineal

En matemáticas , una forma sesquilineal es una generalización de los productos escalares de espacios vectoriales complejos , que son las formas sesquilineales más comunes. Una forma bilineal es lineal en cada uno de sus argumentos, pero una forma sesquilineal permite que uno de los argumentos se "torsione" de manera semilineal , de ahí su nombre, que proviene del prefijo numérico latino sesqui-, que significa "uno y medio". El concepto básico de productos escalares —producir un escalar a partir de un par de vectores— puede generalizarse permitiendo un rango más amplio de valores escalares y, quizás simultáneamente, ampliando la definición de vector.

Un caso especial que motiva es una forma sesquilineal en un espacio vectorial complejo , V. Se trata de una aplicación V × V → C que es lineal en un argumento y "torsiona" la linealidad del otro argumento mediante conjugación compleja (lo que se denomina ser antilineal en el otro argumento). Este caso surge de forma natural en aplicaciones de física matemática. Otro caso importante permite que los escalares provengan de cualquier campo y la torsión la proporciona un automorfismo de campo .

Una aplicación en geometría proyectiva requiere que los escalares provengan de un anillo de división (cuerpo sesgado), K , y esto significa que los "vectores" deben ser reemplazados por elementos de un K - módulo . En un contexto muy general, las formas sesquilineales pueden definirse sobre R -módulos para anillos arbitrarios R.

Las formas sesquilineales abstraen y generalizan la noción básica de una forma hermitiana en un espacio vectorial complejo . Las formas hermitianas se ven comúnmente en física , como el producto interno en un espacio de Hilbert complejo . En tales casos, la forma hermitiana estándar en C ⁿ viene dada por

${\displaystyle \langle w,z\rangle =\sum _{i=1}^{n}{\overline {w}}_{i}z_{i}.}$

dónde${\displaystyle {\overline {w}}_{i}}$denota el conjugado complejo de${\displaystyle w_{i}~.}$Este producto puede generalizarse a situaciones en las que no se trabaja con una base ortonormal para C ⁿ , o incluso con ninguna base en absoluto. Al insertar un factor adicional de${\displaystyle i}$Al incorporar el producto, se obtiene la forma antihermítica , definida con mayor precisión más adelante. No existe ninguna razón particular para restringir la definición a los números complejos; puede definirse para anillos arbitrarios que posean un antiautomorfismo , entendido informalmente como un concepto generalizado de "conjugación compleja" para el anillo.

Las convenciones difieren en cuanto a qué argumento debe ser lineal. En el caso conmutativo, tomaremos el primero como lineal, como es común en la literatura matemática, excepto en la sección dedicada a las formas sesquilineales en espacios vectoriales complejos. Allí usamos la otra convención y tomamos el primer argumento como conjugado-lineal (es decir, antilineal) y el segundo como lineal. Esta es la convención utilizada principalmente por los físicos ^{[ 1 ]} y tiene su origen en la notación bra-ket de Dirac en mecánica cuántica . También es consistente con la definición del producto usual (euclidiano) de${\displaystyle w,z\in \mathbb {C} ^{n}}$como${\displaystyle w^{*}z}$.

En el contexto no conmutativo más general, con módulos derechos consideramos que el segundo argumento es lineal y con módulos izquierdos consideramos que el primer argumento es lineal.

Suposición : En esta sección, las formas sesquilineales son antilineales en su primer argumento y lineales en el segundo.

Sobre un espacio vectorial complejo${\displaystyle V}$un mapa${\displaystyle \varphi :V\times V\to \mathbb {C} }$es sesquilineal si

${\displaystyle {\begin{aligned}&\varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)\\&\varphi (ax,by)={\overline {a}}b\,\varphi (x,y)\end{aligned}}}$

a pesar de${\displaystyle x,y,z,w\in V}$y todo${\displaystyle a,b\in \mathbb {C} .}$Aquí,${\displaystyle {\overline {a}}}$es el conjugado complejo de un escalar${\displaystyle a.}$

Una forma sesquilineal compleja también puede verse como un mapa bilineal complejo.$${\displaystyle {\overline {V}}\times V\to \mathbb {C} }$$ dónde${\displaystyle {\overline {V}}}$es el espacio vectorial conjugado complejo a${\displaystyle V.}$Debido a la propiedad universal de los productos tensoriales, estos se corresponden biunívocamente con las aplicaciones lineales complejas. $${\displaystyle {\overline {V}}\otimes V\to \mathbb {C}.}$$

Para un fijo${\displaystyle z\in V}$el mapa${\displaystyle w\mapsto \varphi (z,w)}$es un funcional lineal en${\displaystyle V}$(es decir, un elemento del espacio dual)${\displaystyle V^{*}}$). Asimismo, el mapa${\displaystyle w\mapsto \varphi (w,z)}$es un funcional lineal conjugado en${\displaystyle V.}$

Dada cualquier forma sesquilineal compleja${\displaystyle \varphi }$en${\displaystyle V}$Podemos definir una segunda forma sesquilineal compleja.${\displaystyle \psi }$mediante la transpuesta conjugada : $${\displaystyle \psi (w,z)={\overline {\varphi (z,w)}}.}$$ En general,${\displaystyle \psi }$y${\displaystyle \varphi }$serán diferentes. Si son iguales entonces${\displaystyle \varphi }$Se dice que es hermitiano . Si son negativos uno del otro, entonces${\displaystyle \varphi }$Se dice que es antihermítica . Toda forma sesquilineal puede escribirse como la suma de una forma hermítica y una forma antihermítica.

Esta sección se aplica sin cambios cuando el anillo de división K es conmutativo . En ese caso, también se aplica una terminología más específica: el anillo de división es un cuerpo, el antiautomorfismo es también un automorfismo y el módulo derecho es un espacio vectorial. Lo siguiente se aplica a un módulo izquierdo con una reordenación adecuada de las expresiones.

Suposición : En esta sección, las formas sesquilineales son antilineales (respectivamente, lineales ) en su segundo (respectivamente, primer) argumento.

En una geometría proyectiva G , una permutación δ de los subespacios que invierte la inclusión, es decir,

S ⊆ T ⇒ T ^δ ⊆ S ^δ para todos los subespacios S , T de G ,

se denomina correlación . Un resultado de Birkhoff y von Neumann (1936) ^{[ 7 ]} muestra que las correlaciones de geometrías proyectivas desarguesianas corresponden a las formas sesquilineales no degeneradas en el espacio vectorial subyacente. ^{[ 5 ]} Una forma sesquilineal φ es no degenerada si φ ( x , y ) = 0 para todo y en V (si y) solo si x = 0 .

Para lograr la generalidad completa de esta afirmación, y puesto que toda geometría proyectiva desarguesiana puede ser coordinada por un anillo de división , Reinhold Baer extendió la definición de una forma sesquilineal a un anillo de división, lo que requiere reemplazar los espacios vectoriales por R -módulos . ^{[ 8 ]} (En la literatura geométrica, estos todavía se denominan espacios vectoriales izquierdos o derechos sobre campos sesgados). ^{[ 9 ]}

La especialización de la sección anterior a los cuerpos sesgados fue consecuencia de su aplicación a la geometría proyectiva, y no intrínseca a la naturaleza de las formas sesquilineales. Solo se requieren las modificaciones menores necesarias para tener en cuenta la no conmutatividad de la multiplicación para generalizar la versión de la definición para cuerpos arbitrarios a anillos arbitrarios.

Sea R un anillo , V un R - módulo y σ un antiautomorfismo de R.​

Una aplicación φ  : V × V → R es σ -sesquilineal si

${\displaystyle \varphi (x+y,z+w)=\varphi (x,z)+\varphi (x,w)+\varphi (y,z)+\varphi (y,w)}$

${\displaystyle \varphi (cx,dy)=c\,\varphi (x,y)\,\sigma (d)}$

para todos los x , y , z , w en V y todos los c , d en R.

Un elemento x es ortogonal a otro elemento y con respecto a la forma sesquilineal φ (escrita x ⊥ y ) si φ ( x , y ) = 0. Esta relación no tiene por qué ser simétrica, es decir, x ⊥ y no implica y ⊥ x .

Una forma sesquilineal φ  : V × V → R es reflexiva (u ortosimétrica ) si φ ( x , y ) = 0 implica φ ( y , x ) = 0 para todo x , y en V .

Una forma sesquilineal φ  : V × V → R es hermitiana si existe σ tal que ^{[ 10 ] : 325}

${\displaystyle \varphi (x,y)=\sigma (\varphi (y,x))}$

para todo x , y en V. Una forma hermitiana es necesariamente reflexiva, y si es distinta de cero, el antiautomorfismo asociado σ es una involución (es decir, de orden 2).

Dado que para un antiautomorfismo σ tenemos σ ( st ) = σ ( t ) σ ( s ) para todo s , t en R , si σ = id , entonces R debe ser conmutativo y φ es una forma bilineal. En particular, si, en este caso, R es un cuerpo asimétrico, entonces R es un cuerpo y V es un espacio vectorial con una forma bilineal.

Un antiautomorfismo σ  : R → R también puede verse como un isomorfismo R → R ^op , donde R ^op es el anillo opuesto de R , que tiene el mismo conjunto subyacente y la misma suma, pero cuya operación de multiplicación ( ∗ ) está definida por a ∗ b = ba , donde el producto de la derecha es el producto en R . De esto se deduce que un R -módulo derecho (izquierdo) V puede convertirse en un R ^op- módulo izquierdo (derecho), V ^o . ^{[ 11 ]} Por lo tanto, la forma sesquilineal φ  : V × V → R puede verse como una forma bilineal φ ′  : V × V ^o → R .

• *-anillo

• Dembowski, Peter (1968), Geometrías finitas , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275 
• Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977), Geometría lineal (2.ª  ed.), Springer, ISBN 0-387-90227-9
• Jacobson, Nathan J. (2009) [1985], Álgebra básica I (2.ª  ed.), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1

• "Forma sesquilineal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]