Semidiferenciabilidad

En cálculo , las nociones de diferenciabilidad unilateral y semidiferenciabilidad de una función f de valor real de una variable real son más débiles que la diferenciabilidad . Específicamente, se dice que la función f es diferenciable por la derecha en un punto a si, en términos generales, se puede definir una derivada cuando el argumento de la función x se mueve de derecha a izquierda en a , y diferenciable por la izquierda en a si se puede definir la derivada cuando x se mueve de izquierda a izquierda en a.

Caso unidimensional

Esta función no tiene derivada en el punto marcado, ya que la función no es continua allí. Sin embargo, tiene derivada derecha en todos los puntos, con $\partial _{+}f(a)$ constantemente igual a 0.

{\displaystyle \partial _{+}f(a)} — Esta función no tiene derivada en el punto marcado, ya que la función no es continua allí. Sin embargo, tiene derivada derecha en todos los puntos, con $\partial _{+}f(a)$ constantemente igual a 0.

En matemáticas , una derivada izquierda y una derivada derecha son derivadas (tasas de cambio de una función) definidas para el movimiento en una sola dirección (izquierda o derecha; es decir, hacia valores menores o mayores) por el argumento de una función.

Definiciones

Sea f una función de valor real definida en un subconjunto I de los números reales.

Si $a \in I$ es un punto límite de $I \cap$ $[$ $a$ $,\infty)$ y el límite unilateral

\partial _{+}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{+} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}

Si f existe como un número real, entonces se dice que f es diferenciable por la derecha en a y el límite ∂ ₊f ( a ) se llama la derivada por la derecha de f en a .

Si $a \in I$ es un punto límite de $I \cap$ $(-\infty,$ $a$ $]$ y el límite unilateral

\partial _{-}f(a):=\lim _{\scriptstyle x\to a^{-} \atop \scriptstyle x\in I}{\frac {f(x)-f(a)}{xa}}

Si f existe como un número real, entonces se dice que f es diferenciable por la izquierda en a y el límite ∂ _–f ( a ) se llama la derivada por la izquierda de f en a .

Si $a \in I$ es un punto límite de $I \cap$ $[$ $a$ $,\infty)$ e $I$ $\cap$ $(-\infty,$ $a$ $]$ y si f es diferenciable por la izquierda y por la derecha en a , entonces f se llama semidiferenciable en a .

Si las derivadas izquierda y derecha son iguales, entonces tienen el mismo valor que la derivada usual ("bidireccional"). También se puede definir una derivada simétrica , que es igual a la media aritmética de las derivadas izquierda y derecha (cuando ambas existen), por lo que la derivada simétrica puede existir cuando la derivada usual no existe. ^{[ 1 ]}

Observaciones y ejemplos

Una función es diferenciable en un punto interior a de su dominio si y solo si es semidiferenciable en a y la derivada izquierda es igual a la derivada derecha.
Un ejemplo de una función semidiferenciable, que no es diferenciable, es la función de valor absoluto. $f(x)=|x|$ , en a = 0. Lo encontramos fácilmente $\partial _{-}f(0)=-1,\partial _{+}f(0)=1.$
Si una función es semidiferenciable en un punto a , implica que es continua en a .
La función indicadora 1 _{[ 0,∞)} es diferenciable por la derecha en cada a real , pero discontinua en cero (nótese que esta función indicadora no es diferenciable por la izquierda en cero).

Solicitud

Si una función real y diferenciable f , definida en un intervalo I de la recta real, tiene derivada cero en todo su dominio, entonces es constante, como lo demuestra la aplicación del teorema del valor medio . La condición de diferenciabilidad puede flexibilizarse a continuidad y diferenciabilidad unilateral de f . La versión para funciones diferenciables por la derecha se presenta a continuación; la versión para funciones diferenciables por la izquierda es análoga.

Teorema — Sea f una función continua de valor real , definida en un intervalo arbitrario I de la recta real. Si f es diferenciable por la derecha en cada punto $a \in I$ que no sea el supremo del intervalo, y si esta derivada por la derecha es siempre cero, entonces f es constante .

Prueba

Para una demostración por contradicción , supongamos que existen $a < b$ en I tales que $f (a) \neq f (b)$ . Entonces

{\displaystyle \varepsilon

Definimos c como el ínfimo de todos aquellos x en el intervalo $(a, b]$ para los cuales el cociente de diferencias de f excede ε en valor absoluto, es decir,

c=\inf\{\,x\in (a,b]\mid |f(x)-f(a)|>\varepsilon (xa)\,\}.

Debido a la continuidad de f , se deduce que $c < b$ y $| f (c) - f (a) | = ε (c - a)$ . En c la derivada derecha de f es cero por hipótesis, por lo tanto existe d en el intervalo $(c, b]$ con $| f (x) - f (c) | \leq ε (x - c)$ para todo x en $(c, d]$ . Por lo tanto, por la desigualdad triangular ,

|f(x)-f(a)|\leq |f(x)-f(c)|+|f(c)-f(a)|\leq \varepsilon (xa)

para todo x en $[c, d)$ , lo cual contradice la definición de c .

Operadores diferenciales que actúan hacia la izquierda o hacia la derecha.

Otro uso común es describir derivadas tratadas como operadores binarios en notación infija , en la que la derivada se aplica al operando izquierdo o derecho . Esto es útil, por ejemplo, al definir generalizaciones del corchete de Poisson . Para un par de funciones f y g, las derivadas izquierda y derecha se definen respectivamente como

f{\stackrel {\leftarrow }{\partial _{x}}}g={\frac {\partial f}{\partial x}}\cdot g

f{\stackrel {\rightarrow }{\partial _{x}}}g=f\cdot {\frac {\partial g}{\partial x}}.

En la notación bra-ket , el operador de derivada puede actuar sobre el operando derecho como la derivada regular o sobre el izquierdo como la derivada negativa. ^{[ 2 ]}

Caso de dimensiones superiores

Esta definición anterior puede generalizarse a funciones de valor real f definidas en subconjuntos de R ⁿ utilizando una versión más débil de la derivada direccional . Sea a un punto interior del dominio de f . Entonces, f se denomina semidiferenciable en el punto a si para cada dirección u ∈ R ⁿ el límite

\partial _{\mathbf {u} }f(\mathbf {a} )=\lim _{h\to 0^{+}}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {u} )-f(\mathbf {a} )}{h}}

existe como un número real, con h ∈ R .

La semidiferenciabilidad es, por lo tanto, más débil que la diferenciabilidad de Gateaux , para la cual se toma en el límite por encima de h → 0 sin restringir h solo a valores positivos.

Por ejemplo, la función $f(x,y)={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$ es semidiferenciable en $(0,0)$ , pero no hay Gateaux diferenciables allí. De hecho, $f(hx,hy)=|h|f(x,y){\text{ y para }}h\geq 0,f(hx,hy)=hf(x,y),f(hx,hy)/h=f(x,y),$ con $\mathbf {a} =(0,0),\mathbf {u} =(x,y){\text{ y }}\partial _{\mathbf {u} }f(0,0)=f(x,y).$

(Tenga en cuenta que esta generalización no es equivalente a la definición original para n = 1, ya que el concepto de puntos límite unilaterales se reemplaza por el concepto más fuerte de puntos interiores).

Propiedades

Cualquier función convexa en un subconjunto abierto convexo de R ⁿ es semidiferenciable.
Si bien toda función semidiferenciable de una variable es continua, esto ya no es cierto para varias variables.

Generalización

En lugar de funciones de valor real, se pueden considerar funciones que toman valores en R ⁿ o en un espacio de Banach .

Véase también

Referencias

↑ Peter R. Mercer (2014). Más cálculo de una variable . Springer. pág. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.
↑ Dirac, Paul (1982) [1930]. Los principios de la mecánica cuántica . EE. UU.: Oxford University Press. ISBN 978-0198520115.

Preda, V.; Chiţescu, I. (1999). "Sobre la cualificación de restricciones en problemas de optimización multiobjetivo: caso semidiferenciable". J. Optim. Theory Appl . 100 (2): 417– 433. doi : 10.1023/A:1021794505701 . S2CID 119868047 .

[Mercer2014-1] Peter R. Mercer (2014). Más cálculo de una variable . Springer. pág. 173. ISBN 978-1-4939-1926-0.

[2] Dirac, Paul (1982) [1930]. Los principios de la mecánica cuántica . EE. UU.: Oxford University Press. ISBN 978-0198520115.

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