Operador semielíptico

En matemáticas —específicamente, en la teoría de ecuaciones diferenciales parciales— un operador semielíptico es un operador diferencial parcial que satisface una condición de positividad ligeramente más débil que la de ser un operador elíptico . Todo operador elíptico es también semielíptico, y los operadores semielípticos comparten muchas de las propiedades agradables de los operadores elípticos: por ejemplo, gran parte de la misma teoría de existencia y unicidad es aplicable, y los problemas de Dirichlet semielípticos se pueden resolver utilizando los métodos del análisis estocástico .

Un operador diferencial parcial de segundo orden P definido en un subconjunto abierto Ω del espacio euclidiano n - dimensional R ⁿ , que actúa sobre funciones adecuadas f por

${\displaystyle Pf(x)=\sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}(x){\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}(x)+\sum _{i=1}^{n}b_{i}(x){\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(x)+c(x)f(x),}$

Se dice que es semielíptica si todos los valores propios λ _i ( x ), 1 ≤  i  ≤  n , de la matriz a ( x ) = ( a _ij ( x )) son no negativos. (Por el contrario, se dice que P es elíptica si λ _i ( x ) > 0 para todo x  ∈ Ω y 1 ≤  i  ≤  n , y uniformemente elíptica si los valores propios están uniformemente acotados a partir de cero, uniformemente en i y x .) De manera equivalente, P es semielíptica si la matriz a ( x ) es semidefinida positiva para cada x  ∈ Ω.

• Øksendal, Bernt K. (2003). Ecuaciones diferenciales estocásticas: una introducción con aplicaciones (sexta edición). Berlín: Springer. ISBN 3-540-04758-1.(Véase la Sección 9)