Método de Euler semiimplícito

En matemáticas, el método de Euler semiimplícito , también llamado Euler simpléctico , Euler semiexplícito , Euler-Cromer y Newton-Størmer-Verlet (NSV) , es una modificación del método de Euler para resolver las ecuaciones de Hamilton , un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias que surge en la mecánica clásica . Es un integrador simpléctico y, por lo tanto, proporciona mejores resultados que el método de Euler estándar.

El método ha sido descubierto y olvidado muchas veces, remontándose a los Principiae de Newton , ^{[ 1 ]} como lo recuerda Richard Feynman en sus Feynman Lectures (Vol. 1, Sec. 9.6) ^{[ 2 ]} En tiempos modernos, el método fue redescubierto en una preimpresión de 1956 de René De Vogelaere que, aunque nunca se publicó formalmente, influyó en trabajos posteriores sobre métodos simplécticos de orden superior. ^{[ 3 ]}

El método de Euler semiimplícito se puede aplicar a un par de ecuaciones diferenciales de la forma$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=f(t,v)\\{\frac {dv}{dt}}&=g(t,x),\end{aligned}}}$$

donde f y g son funciones dadas. Aquí, x y v pueden ser escalares o vectores. Las ecuaciones de movimiento en la mecánica hamiltoniana toman esta forma si el hamiltoniano es de la forma

$${\displaystyle H=T(t,v)+V(t,x).\,}$$

Las ecuaciones diferenciales deben resolverse con la condición inicial.

$${\displaystyle x(t_{0})=x_{0},\qquad v(t_{0})=v_{0}.}$$

El método semiimplícito de Euler produce una solución discreta aproximada mediante iteración. $${\displaystyle {\begin{aligned}v_{n+1}&=v_{n}+g(t_{n},x_{n})\,\Delta t\\[0.3em]x_{n+1}&=x_{n}+f(t_{n},v_{n+1})\,\Delta t\end{aligned}}}$$

donde Δ t es el paso de tiempo y t _n = t ₀ + n Δ t es el tiempo después de n pasos.

La diferencia con el método estándar de Euler es que el método semiimplícito de Euler utiliza v _{n +1} en la ecuación para x _{n +1} , mientras que el método de Euler utiliza v _n .

Aplicando el método con paso de tiempo negativo al cálculo de${\displaystyle (x_{n},v_{n})}$de${\displaystyle (x_{n+1},v_{n+1})}$y la reorganización conduce a la segunda variante del método de Euler semiimplícito. $${\displaystyle {\begin{aligned}x_{n+1}&=x_{n}+f(t_{n},v_{n})\,\Delta t\\[0.3ex]v_{n+1}&=v_{n}+g(t_{n},x_{n+1})\,\Delta t\end{aligned}}}$$ que tiene propiedades similares.

El método de Euler semiimplícito es un integrador de primer orden , al igual que el método de Euler estándar. Esto significa que comete un error global del orden de Δt . Sin embargo, a diferencia del método estándar, el método de Euler semiimplícito es un integrador simpléctico . En consecuencia, el método de Euler semiimplícito prácticamente conserva la energía (cuando el hamiltoniano es independiente del tiempo). Con frecuencia, la energía aumenta progresivamente al aplicar el método de Euler estándar, lo que lo hace mucho menos preciso.

La alternancia entre las dos variantes del método de Euler semiimplícito conduce, en una simplificación, a la integración de Störmer-Verlet y, en otra simplificación ligeramente diferente, a la integración de salto de rana , aumentando tanto el orden del error como el orden de conservación de la energía. ^{[ 1 ]}

La región de estabilidad del método semiimplícito fue presentada por Niiranen ^{[ 4 ],} aunque en su artículo el método semiimplícito de Euler fue erróneamente denominado método simétrico de Euler. El método semiimplícito modela correctamente el sistema simulado si las raíces complejas de la ecuación característica se encuentran dentro del círculo que se muestra a continuación. Para raíces reales, la región de estabilidad se extiende fuera del círculo para el cual el criterio es${\displaystyle s>-2/\Delta t}$

Como se puede observar, el método semiimplícito simula correctamente tanto sistemas estables con raíces en el semiplano izquierdo como sistemas inestables con raíces en el semiplano derecho. Esto representa una clara ventaja sobre los métodos de Euler hacia adelante (estándar) y hacia atrás. El método de Euler hacia adelante tiende a presentar menor amortiguamiento que el sistema real cuando las partes reales negativas de las raíces se aproximan al eje imaginario, mientras que el método de Euler hacia atrás puede mostrar que el sistema es estable incluso cuando las raíces se encuentran en el semiplano derecho.

El movimiento de un resorte que satisface la ley de Hooke viene dado por

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dx}{dt}}&=v(t)\\[0.2em]{\frac {dv}{dt}}&=-{\frac {k}{m}}\,x=-\omega ^{2}\,x.\end{aligned}}}$$

La ecuación de Euler semiimplícita para esta ecuación es

$${\displaystyle {\begin{aligned}v_{n+1}&=v_{n}-\omega ^{2}\,x_{n}\,\Delta t\\[0.2em]x_{n+1}&=x_{n}+v_{n+1}\,\Delta t.\end{aligned}}}$$

Sustituyendo${\displaystyle v_{n+1}}$En la segunda ecuación, con la expresión dada por la primera ecuación, la iteración se puede expresar en la siguiente forma matricial. $${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{n+1}\\v_{n+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-\omega ^{2}\Delta t^{2}&\Delta t\\-\omega ^{2}\Delta t&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{n}\\v_{n}\end{bmatrix}},}$$ y dado que el determinante de la matriz es 1, la transformación conserva el área.

La iteración conserva el funcional de energía modificado.${\textstyle E_{h}(x,v)={\tfrac {1}{2}}\left(v^{2}+\omega ^{2}\,x^{2}-\omega ^{2}\Delta t\,vx\right)}$exactamente, lo que lleva a órbitas periódicas estables (para un tamaño de paso suficientemente pequeño) que se desvían en${\displaystyle O(\Delta t)}$a partir de las órbitas exactas. La frecuencia circular exacta${\displaystyle \omega }$aumenta en la aproximación numérica por un factor de${\displaystyle 1+{\tfrac {1}{24}}\omega ^{2}\Delta t^{2}+O(\Delta t^{4})}$.