Matriz semiortogonal

Considere el${\displaystyle 3\times 2}$matriz cuyas columnas son ortonormales: ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ Aquí, sus columnas son ortonormales. Por lo tanto, es semiortogonal, lo cual se confirma por: ${\displaystyle A^{T}A={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I_{2}}$

Considere el${\displaystyle 2\times 3}$matriz cuyas filas son ortonormales: ${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}}$ Aquí, sus filas son ortonormales. Por lo tanto, es semiortogonal, lo cual se confirma mediante: ${\displaystyle BB^{T}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I_{2}}$

La siguiente${\displaystyle 3\times 2}$La matriz tiene columnas ortogonales, pero no ortonormales, y por lo tanto no es semiortogonal: ${\displaystyle C={\begin{pmatrix}2&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ El cálculo lo confirma: ${\displaystyle C^{T}C={\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}2&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&0\\0&1\end{pmatrix}}\neq I_{2}}$

Si una matriz${\displaystyle A}$es alto o cuadrado (${\displaystyle m\geq n}$), su semiortogonalidad implica${\displaystyle A^{T}A=I_{n}}$. Para cualquier vector${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$,${\displaystyle A}$conserva su norma: ${\displaystyle \|Ax\|_{2}^{2}=(Ax)^{T}(Ax)=x^{T}A^{T}Ax=x^{T}I_{n}x=\|x\|_{2}^{2}}$ Si una matriz${\displaystyle A}$es corto (${\displaystyle m<n}$), conserva la norma de los vectores en su espacio fila .

Si${\displaystyle A^{T}A=I_{n}}$, luego las columnas de${\displaystyle A}$son linealmente independientes, por lo que el rango de${\displaystyle A}$debe ser${\displaystyle n}$. Si${\displaystyle AA^{T}=I_{m}}$, luego las filas de${\displaystyle A}$son linealmente independientes, por lo que el rango de${\displaystyle A}$debe ser${\displaystyle m}$En ambos casos, la matriz tiene rango completo.

La afirmación es que una matriz real${\displaystyle A}$es semiortogonal si y solo si todos sus valores singulares distintos de cero son 1.

Esto se deduce directamente de la SVD ,${\displaystyle A=U\Sigma V^{T}}$.

(${\displaystyle \implies }$) Asumir${\displaystyle A}$es semiortogonal. Entonces o${\displaystyle A^{T}A=I}$o${\displaystyle AA^{T}=I}$. Los valores singulares no nulos de${\displaystyle A}$son las raíces cuadradas de los autovalores no nulos de ambos${\displaystyle A^{T}A}$y${\displaystyle AA^{T}}$. Dado que una de estas matrices "gramianas" es una matriz identidad , todos sus valores propios son 1. Por lo tanto, los valores singulares no nulos de${\displaystyle A}$debe ser 1.

(${\displaystyle \Leftarrow }$) Suponga que todos los valores singulares no nulos de${\displaystyle A}$son 1. Esto fuerza el bloqueo de${\displaystyle \Sigma }$que contiene los valores distintos de cero para ser una matriz identidad. Esta estructura garantiza que o bien${\displaystyle \Sigma ^{T}\Sigma =I_{n}}$(si${\displaystyle A}$tiene rango de columna completo) o${\displaystyle \Sigma \Sigma ^{T}=I_{m}}$(si${\displaystyle A}$tiene rango de fila completo). Sustituyendo esto en las expresiones para${\displaystyle A^{T}A=V(\Sigma ^{T}\Sigma )V^{T}}$o${\displaystyle AA^{T}=U(\Sigma \Sigma ^{T})U^{T}}$respectivamente muestra que una de ellas debe simplificarse a una matriz identidad, satisfaciendo la definición de una matriz semiortogonal.