Hispanopedia WikiEn matemáticas , un operador lineal T : V → V en un espacio vectorial V es semisimple si todo subespacio T - invariante tiene un subespacio T -invariante complementario . [ 1 ] Si T es un operador lineal semisimple en V, entonces V es una representación semisimple de T. De forma equivalente, un operador lineal es semisimple si su polinomio mínimo es un producto de polinomios irreducibles distintos . [ 2 ]
Un operador lineal en un espacio vectorial de dimensión finita sobre un cuerpo algebraicamente cerrado es semisimple si y solo si es diagonalizable . [ 1 ] [ 3 ]
Sobre un cuerpo perfecto , la descomposición de Jordan-Chevalley expresa un endomorfismo.como suma de un endomorfismo semisimple s y un endomorfismo nilpotente n tales que tanto s como n son polinomios en x .
Notas
- 1 2 Lam (2001), pág. 39
- ↑ Jacobson 1979 , Un párrafo antes del Cap. II, § 5, Teorema 11.
- ↑ Esto es trivial por definición en términos de un polinomio mínimo, pero puede verse más directamente de la siguiente manera. Dicho operador siempre tiene un vector propio; si además es semisimple, entonces tiene un hiperplano invariante complementario , que a su vez tiene un vector propio, y por lo tanto, por inducción, es diagonalizable. Recíprocamente, es fácil ver que los operadores diagonalizables son semisimples, ya que los subespacios invariantes son sumas directas de espacios propios, y cualquier base para este espacio puede extenderse a una base propia.
Referencias
- Hoffman, Kenneth; Kunze, Ray (1971). "Operadores semisimples". Álgebra lineal (2.ª ed.). Englewood Cliffs, NJ: Prentice-Hall, Inc. MR 0276251 .
- Jacobson, Nathan (1979). Álgebras de Lie . Nueva York. ISBN 0-486-63832-4OCLC 6499793
{{cite book}}: CS1 mantenimiento: falta el editor de ubicación ( enlace ) - Lam, Tsit-Yuen (2001). Un primer curso sobre anillos no conmutativos . Textos de posgrado en matemáticas. Vol. 131 (2.ª ed.). Springer. ISBN 0-387-95183-0.
- Álgebra lineal
- subespacios invariantes
- Esbozos de álgebra lineal