Espacio vectorial normalizado

En matemáticas , un espacio vectorial normado o espacio normado es un espacio vectorial , típicamente sobre los números reales o complejos , en el que se define una norma . ^{[ 1 ]} Una norma es una generalización de la noción intuitiva de "longitud" en el mundo físico. Si${\displaystyle V}$es un espacio vectorial sobre${\displaystyle K}$, dónde${\displaystyle K}$es un campo igual a${\displaystyle \mathbb {R} }$o para${\displaystyle \mathbb {C} }$, entonces una norma en${\displaystyle V}$es un mapa${\displaystyle V\to \mathbb {R} }$, normalmente denotado por${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$, satisfaciendo los siguientes cuatro axiomas:

1. No negatividad: para cada${\displaystyle x\in V}$,${\displaystyle \;\lVert x\rVert \geq 0}$.
2. Definitividad positiva: para cada${\displaystyle x\in V}$,${\displaystyle \;\lVert x\rVert =0}$si y solo si${\displaystyle x}$es el vector cero.
3. Homogeneidad absoluta: para cada${\displaystyle \lambda \in K}$y${\displaystyle x\in V}$,$${\displaystyle \lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert }$$
4. Desigualdad triangular : para cada${\displaystyle x\in V}$y${\displaystyle y\in V}$,$${\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}$$

Si${\displaystyle V}$es un espacio vectorial real o complejo como se indicó anteriormente, y${\displaystyle \lVert \cdot \rVert }$es una norma en${\displaystyle V}$, entonces el par ordenado${\displaystyle (V,\lVert \cdot \rVert )}$se denomina espacio vectorial normado. Si del contexto se deduce claramente a qué norma se refiere, entonces es común denotar el espacio vectorial normado simplemente por${\displaystyle V}$.

Una norma induce una distancia , denominada su métrica inducida (por la norma) , mediante la fórmula $${\displaystyle d(x,y)=\|y-x\|.}$$ Esto convierte cualquier espacio vectorial normado en un espacio métrico y un espacio vectorial topológico . Si este espacio métrico es completo , entonces el espacio normado es un espacio de Banach . Todo espacio vectorial normado puede extenderse de forma única a un espacio de Banach, lo que hace que los espacios normados estén íntimamente relacionados con los espacios de Banach. Todo espacio de Banach es un espacio normado, pero lo contrario no es cierto. Por ejemplo, el conjunto de las sucesiones finitas de números reales puede normarse con la norma euclidiana , pero no es completo para esta norma.

Un espacio con producto interno es un espacio vectorial normado cuya norma es la raíz cuadrada del producto interno de un vector y sí mismo. La norma euclidiana de un espacio vectorial euclidiano es un caso especial que permite definir la distancia euclidiana mediante la fórmula $${\displaystyle d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.}$$

El estudio de los espacios normados y los espacios de Banach es una parte fundamental del análisis funcional , un subcampo importante de las matemáticas.

Un espacio vectorial normado es un espacio vectorial equipado con una norma .Un espacio vectorial seminormado es un espacio vectorial equipado con unaseminorma.

Una variación útil de la desigualdad triangular es $${\displaystyle \|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||}$$ para cualquier vector${\displaystyle x}$y${\displaystyle y.}$

Esto también demuestra que una norma vectorial es una función ( uniformemente ) continua .

La propiedad 3 depende de la elección de la norma.${\displaystyle |\alpha |}$en el campo de escalares. Cuando el campo escalar es${\displaystyle \mathbb {R} }$(o más generalmente un subconjunto de${\displaystyle \mathbb {C} }$), esto se suele tomar como el valor absoluto ordinario , pero son posibles otras opciones. Por ejemplo, para un espacio vectorial sobre${\displaystyle \mathbb {Q} }$uno podría tomar${\displaystyle |\alpha |}$ser el${\displaystyle p}$valor absoluto -ádico .

Si${\displaystyle (V,\|\,\cdot \,\|)}$es un espacio vectorial normado, la norma${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$induce una métrica (una noción de distancia ) y por lo tanto una topología en${\displaystyle V.}$Esta métrica se define de forma natural: la distancia entre dos vectores.${\displaystyle \mathbf {u} }$y${\displaystyle \mathbf {v} }$es dado por${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$Esta topología es precisamente la topología más débil que hace${\displaystyle \|\,\cdot \,\|}$continuo y que es compatible con la estructura lineal de${\displaystyle V}$en el siguiente sentido:

1. La suma de vectores${\displaystyle \,+\,:V\times V\to V}$es conjuntamente continua con respecto a esta topología. Esto se deduce directamente de la desigualdad triangular .
2. La multiplicación escalar${\displaystyle \,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,}$dónde${\displaystyle \mathbb {K} }$es el campo escalar subyacente de${\displaystyle V,}$es conjuntamente continua. Esto se deduce de la desigualdad triangular y la homogeneidad de la norma.

De manera similar, para cualquier espacio vectorial seminorma podemos definir la distancia entre dos vectores.${\displaystyle \mathbf {u} }$y${\displaystyle \mathbf {v} }$como${\displaystyle \|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.}$Esto convierte el espacio seminormado en un espacio pseudométrico (nótese que es más débil que una métrica) y permite definir nociones como continuidad y convergencia . Dicho de forma más abstracta, todo espacio vectorial seminormado es un espacio vectorial topológico y, por lo tanto, posee una estructura topológica inducida por la seminorma.

De especial interés son los espacios normados completos , que se conocen como espacios de Banach . Todo espacio vectorial normado${\displaystyle V}$se sitúa como un subespacio denso dentro de algún espacio de Banach; este espacio de Banach está esencialmente definido de forma única por${\displaystyle V}$y se llama la finalización de${\displaystyle V.}$

Dos normas en el mismo espacio vectorial se denominan equivalentes si definen la misma topología . En un espacio vectorial de dimensión finita (pero no en espacios vectoriales de dimensión infinita), todas las normas son equivalentes (aunque los espacios métricos resultantes no tienen por qué ser los mismos) ^{[ 2 ].} Y dado que cualquier espacio euclidiano es completo, podemos concluir que todos los espacios vectoriales normados de dimensión finita son espacios de Banach.

Un espacio vectorial normado${\displaystyle V}$es localmente compacto si y solo si la bola unitaria${\displaystyle B=\{x:\|x\|\leq 1\}}$es compacto , lo cual es el caso si y solo si${\displaystyle V}$es de dimensión finita; esto es consecuencia del lema de Riesz . (De hecho, un resultado más general es cierto: un espacio vectorial topológico es localmente compacto si y solo si es de dimensión finita. La cuestión aquí es que no asumimos que la topología provenga de una norma).

La topología de un espacio vectorial seminormado tiene muchas propiedades interesantes. Dado un sistema de vecindad${\displaystyle {\mathcal {N}}(0)}$alrededor de 0 podemos construir todos los demás sistemas de vecindario como $${\displaystyle {\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}}$$ con $${\displaystyle x+N:=\{x+n:n\in N\}.}$$

Además, existe una base de vecindad para el origen que consiste en conjuntos absorbentes y convexos . Como esta propiedad es muy útil en el análisis funcional , las generalizaciones de los espacios vectoriales normados con esta propiedad se estudian bajo el nombre de espacios localmente convexos .

Una norma (o seminorma )${\displaystyle \|\cdot \|}$en un espacio vectorial topológico${\displaystyle (X,\tau )}$es continua si y solo si la topología${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}}$eso${\displaystyle \|\cdot \|}$induce en${\displaystyle X}$es más grueso que${\displaystyle \tau }$(significado,${\displaystyle \tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau }$), lo cual sucede si y solo si existe alguna bola abierta${\displaystyle B}$en${\displaystyle (X,\|\cdot \|)}$(como tal vez)${\displaystyle \{x\in X:\|x\|<1\}}$por ejemplo) que está abierto en${\displaystyle (X,\tau )}$(dicho de otra manera, de modo que${\displaystyle B\in \tau }$).

Un espacio vectorial topológico${\displaystyle (X,\tau )}$Se denomina normable si existe una norma.${\displaystyle \|\cdot \|}$en${\displaystyle X}$de tal manera que la métrica canónica${\displaystyle (x,y)\mapsto \|y-x\|}$induce la topología${\displaystyle \tau }$en${\displaystyle X.}$ El siguiente teorema se debe a Kolmogorov : ^{[ 3 ]}

Criterio de normabilidad de Kolmogorov : Un espacio vectorial topológico de Hausdorff es normable si y solo si existe unentorno convexo y acotado de von Neumann de${\displaystyle 0\in X.}$

Un producto de una familia de espacios normables es normable si y solo si solo un número finito de los espacios no son triviales (es decir,${\displaystyle \neq \{0\}}$). ^{[ 3 ]} Además, el cociente de un espacio normable${\displaystyle X}$mediante un subespacio vectorial cerrado${\displaystyle C}$es normal, y si además${\displaystyle X}$La topología de está dada por una norma${\displaystyle \|\,\cdot ,\|}$luego el mapa${\displaystyle X/C\to \mathbb {R} }$dado por${\textstyle x+C\mapsto \inf _{c\in C}\|x+c\|}$es una norma bien definida en${\displaystyle X/C}$que induce la topología cociente en${\displaystyle X/C.}$^{[ 4 ]}

Además,${\displaystyle X}$es de dimensión finita si y solo si${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$es normal (aquí)${\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}$denota${\displaystyle X^{\prime }}$dotado de la topología débil-* ).

La topología${\displaystyle \tau }$del espacio Fréchet${\displaystyle C^{\infty }(K),}$tal como se define en el artículo sobre espacios de funciones de prueba y distribuciones , se define por una familia numerable de normas, pero no es un espacio normable porque no existe ninguna norma.${\displaystyle \|\cdot \|}$en${\displaystyle C^{\infty }(K)}$de tal manera que la topología que induce esta norma sea igual a${\displaystyle \tau .}$

Aunque un espacio vectorial topológico metrizable tenga una topología definida por una familia de normas, aún así puede no ser un espacio normable (lo que significa que su topología no puede definirse mediante ninguna norma individual ). Un ejemplo de tal espacio es el espacio de Fréchet.${\displaystyle C^{\infty }(K),}$cuya definición se puede encontrar en el artículo sobre espacios de funciones de prueba y distribuciones , debido a su topología${\displaystyle \tau }$está definido por una familia numerable de normas pero no es un espacio normable porque no existe ninguna norma${\displaystyle \|\cdot \|}$en${\displaystyle C^{\infty }(K)}$de tal manera que la topología que induce esta norma sea igual a${\displaystyle \tau .}$ De hecho, la topología de un espacio localmente convexo${\displaystyle X}$puede definirse mediante una familia de normas sobre${\displaystyle X}$si y solo si existe al menos una norma continua en${\displaystyle X.}$^{[ 5 ]}

Las aplicaciones más importantes entre dos espacios vectoriales normados son las aplicaciones lineales continuas . Junto con estas aplicaciones, los espacios vectoriales normados forman una categoría .

La norma es una función continua en su espacio vectorial. Todas las aplicaciones lineales entre espacios vectoriales de dimensión finita también son continuas.

Una isometría entre dos espacios vectoriales normados es una aplicación lineal.${\displaystyle f}$que preserva la norma (es decir,${\displaystyle \|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|}$para todos los vectores${\displaystyle \mathbf {v} }$). Las isometrías son siempre continuas e inyectivas . Una isometría sobreyectiva entre los espacios vectoriales normados${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$se denomina isomorfismo isométrico y${\displaystyle V}$y${\displaystyle W}$Se denominan isométricamente isomorfos . Los espacios vectoriales normados isométricamente isomorfos son idénticos a efectos prácticos.

Cuando hablamos de espacios vectoriales normados, ampliamos la noción de espacio dual para tener en cuenta la norma. El espacio dual${\displaystyle V^{\prime }}$de un espacio vectorial normado${\displaystyle V}$es el espacio de todas las aplicaciones lineales continuas desde${\displaystyle V}$al campo base (los complejos o los reales): tales aplicaciones lineales se denominan "funcionales". La norma de un funcional${\displaystyle \varphi }$se define como el supremo de${\displaystyle |\varphi (\mathbf {v} )|}$dónde${\displaystyle \mathbf {v} }$abarca todos los vectores unitarios (es decir, vectores de norma${\displaystyle 1}$) en${\displaystyle V.}$Esto se convierte en${\displaystyle V^{\prime }}$en un espacio vectorial normado. Un teorema importante sobre funcionales lineales continuos en espacios vectoriales normados es el teorema de Hahn-Banach .

La definición de muchos espacios normados (en particular, espacios de Banach ) implica una seminorma definida en un espacio vectorial y luego el espacio normado se define como el espacio cociente por el subespacio de elementos de la seminorma cero. Por ejemplo, con el${\displaystyle L^{p}}$espacios , la función definida por $${\displaystyle \|f\|_{p}=\left(\int |f(x)|^{p}\;dx\right)^{1/p}}$$ Es una seminorma en el espacio vectorial de todas las funciones en las que la integral de Lebesgue del lado derecho está definida y es finita. Sin embargo, la seminorma es igual a cero para cualquier función con soporte en un conjunto de medida de Lebesgue cero. Estas funciones forman un subespacio que extraemos mediante el cociente, lo que las hace equivalentes a la función cero.

Dado${\displaystyle n}$espacios seminorados${\displaystyle \left(X_{i},q_{i}\right)}$con seminormas${\displaystyle q_{i}:X_{i}\to \mathbb {R} ,}$denotemos el espacio producto por $${\displaystyle X:=\prod _{i=1}^{n}X_{i}}$$ donde la suma de vectores se define como $${\displaystyle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right)+\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right):=\left(x_{1}+y_{1},\ldots ,x_{n}+y_{n}\right)}$$ y la multiplicación escalar definida como $${\displaystyle \alpha \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\alpha x_{1},\ldots ,\alpha x_{n}\right).}$$

Defina una nueva función${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$por $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right),}$$ que es una semi-roma en${\displaystyle X.}$La función${\displaystyle q}$es una norma si y solo si todos${\displaystyle q_{i}}$son normas.

De manera más general, para cada real${\displaystyle p\geq 1}$el mapa${\displaystyle q:X\to \mathbb {R} }$definido por $${\displaystyle q\left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right):=\left(\sum _{i=1}^{n}q_{i}\left(x_{i}\right)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}}$$ es una semi norma. Para cada${\displaystyle p}$Esto define el mismo espacio topológico.

Un argumento sencillo que involucra álgebra lineal elemental demuestra que los únicos espacios seminormados de dimensión finita son aquellos que surgen del producto de un espacio normado y un espacio con seminorma trivial. En consecuencia, muchos de los ejemplos y aplicaciones más interesantes de los espacios seminormados se dan en espacios vectoriales de dimensión infinita.

• Espacio de Banach , espacios vectoriales normados que son completos con respecto a la métrica inducida por la norma.
• Banach-Mazur compactum - Concepto en análisis funcional 
• Variedad de Finsler , donde la longitud de cada vector tangente está determinada por una norma.
• Espacio con producto interno , espacios vectoriales normados donde la norma viene dada por un producto interno.
• Criterio de normabilidad de Kolmogorov : caracterización de espacios normables. 
• Espacio vectorial topológico localmente convexo : un espacio vectorial cuya topología está definida por conjuntos abiertos convexos.
• Espacio (matemáticas) : conjunto matemático con alguna estructura añadida.
• Espacio vectorial topológico : espacio vectorial con una noción de proximidad. 

• Jarchow, Hans (1981). Espacios localmente convexos . Matemáticas Leitfäden. [Libros de texto de matemáticas]. BG Teubner, Stuttgart. ISBN 3-519-02224-9. SR 0632257 . 
• Rudin, Walter (1991). Análisis funcional . Serie internacional de matemáticas puras y aplicadas. Vol.  8 (Segunda  edición). Nueva York, NY: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5OCLC 21163277​​ 
• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [ Teoría de las operaciones lineales ] (PDF) . Monografie Matematyczne (en francés). vol.  1. Varsovia: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901 . Archivado desde el original (PDF) el 11 de enero de 2014 . Consultado el 11 de julio de 2020 . 
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