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Semiejes mayores y semiejes menores

Los semiejes mayor ( a ) y menor ( b ) de una elipse En geometría , el eje mayor de una elipse es su diámetro más largo : un segmento de recta que pasa por el centro y ambos foc...

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Los semiejes mayor ( a ) y menor ( b ) de una elipse

En geometría , el eje mayor de una elipse es su diámetro más largo : un segmento de recta que pasa por el centro y ambos focos , con extremos en los dos puntos más alejados del perímetro . El semieje mayor es el semidiámetro más largo, o la mitad del eje mayor, y por lo tanto va desde el centro, pasando por un foco , hasta el perímetro. El semieje menor de una elipse o hipérbola es un segmento de recta perpendicular al semieje mayor, con un extremo en el centro de la sección cónica . En el caso particular de un círculo, la longitud de ambos semiejes es igual al radio del círculo.

La longitud del semieje mayor a de una elipse está relacionada con la longitud del semieje menor b a través de la excentricidad e y el semilado recto.ℓ{\displaystyle \ell }, de la siguiente manera:

b=a1−mi2,ℓ=a(1−mi2),aℓ=b2.{\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\\ell &=a(1-e^{2}),\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}

El semieje mayor de una hipérbola es, según la convención, más o menos la mitad de la distancia entre sus dos ramas. Por lo tanto, es la distancia desde el centro hasta cualquiera de los vértices de la hipérbola.

Una parábola se puede obtener como el límite de una secuencia de elipses donde un foco se mantiene fijo mientras que al otro se le permite moverse arbitrariamente lejos en una dirección, manteniendoℓ{\displaystyle \ell }fijo. Por lo tanto , a y b tienden a infinito, a más rápido que b .

Los ejes mayor y menor son los ejes de simetría de la curva: en una elipse, el eje menor es el más corto; en una hipérbola, es el que no interseca la hipérbola.

Elipse

La ecuación de una elipse es

(incógnita−h)2a2+(y−k)2b2=1,{\displaystyle {\frac {(xh)^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(yk)^{2}}{b^{2}}}=1,}

donde ( h , k ) es el centro de la elipse en coordenadas cartesianas , en la que un punto arbitrario viene dado por ( x , y ).  

El semieje mayor es el valor medio de las distancias máxima y mínima.rmáximo{\displaystyle r_{\text{máx}}}yrmin{\displaystyle r_{\text{min}}}de la elipse desde un foco, es decir, de las distancias desde un foco a los extremos del eje mayor.

Excentricidad e en términos de los semiejes mayor a y menor b : e² + ( b/a ) ² = 1
a=rmáximo+rmin2.{\displaystyle a={\frac {r_{\text{max}}+r_{\text{min}}}{2}}.}

En astronomía, estos puntos extremos se denominan ápsides . [ 1 ]

El semieje menor de una elipse es la media geométrica de estas distancias:

b=rmáximormin.{\displaystyle b={\sqrt {r_{\text{max}}r_{\text{min}}}}.}

La excentricidad de una elipse se define como

mi=1−b2a2,{\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}},}

entonces

rmin=a(1−mi),rmáximo=a(1+mi).{\displaystyle r_{\text{min}}=a(1-e),\quad r_{\text{max}}=a(1+e).}

Ahora consideremos la ecuación en coordenadas polares , con un foco en el origen y el otro en elθ=π{\displaystyle \theta =\pi }dirección:

r(1+miporque⁡θ)=ℓ.{\displaystyle r(1+e\cos \theta )=\ell .}

El valor medio der=ℓ/(1−mi){\displaystyle r=\ell /(1-e)}yr=ℓ/(1+mi){\displaystyle r=\ell /(1+e)}, paraθ=π{\displaystyle \theta =\pi }yθ=0{\displaystyle \theta =0}es

a=ℓ1−mi2.{\displaystyle a={\frac {\ell }{1-e^{2}}}.}

En una elipse, el semieje mayor es la media geométrica de la distancia desde el centro a cualquiera de los focos y la distancia desde el centro a cualquiera de las directriz.

El semieje menor de una elipse va desde el centro de la elipse (un punto situado a medio camino entre los focos y sobre la línea que los une ) hasta el borde de la elipse. El semieje menor es la mitad del eje menor. El eje menor es el segmento de recta más largo, perpendicular al eje mayor, que conecta dos puntos del borde de la elipse.

El semieje menor b está relacionado con el semieje mayor a a través de la excentricidad e y el semi-lado recto.ℓ{\displaystyle \ell }, de la siguiente manera:

b=a1−mi2,aℓ=b2.{\displaystyle {\begin{aligned}b&=a{\sqrt {1-e^{2}}},\\a\ell &=b^{2}.\end{aligned}}}

Una parábola se puede obtener como el límite de una secuencia de elipses donde un foco se mantiene fijo mientras que al otro se le permite moverse arbitrariamente lejos en una dirección, manteniendoℓ{\displaystyle \ell }fijo. Por lo tanto , a y b tienden a infinito, a más rápido que b .

La longitud del semieje menor también se puede encontrar utilizando la siguiente fórmula: [ 2 ]

2b=(pag+q)2−F2,{\displaystyle 2b={\sqrt {(p+q)^{2}-f^{2}}},}

donde f es la distancia entre los focos, y p y q son las distancias desde cada foco a cualquier punto de la elipse.

Hipérbola

El semieje mayor de una hipérbola es, según la convención, más o menos la mitad de la distancia entre las dos ramas; si esto es a en la dirección x, la ecuación es: [ 3 ]

(incógnita−h)2a2−(y−k)2b2=1.{\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}

En términos del semi-lato recto y la excentricidad, tenemos

a=ℓmi2−1.{\displaystyle a={\ell \over e^{2}-1}.}

El eje transversal de una hipérbola coincide con el eje mayor. [ 4 ]

En una hipérbola, un eje conjugado o eje menor de longitud2b{\displaystyle 2b}, correspondiente al eje menor de una elipse, puede trazarse perpendicular al eje transversal o al eje mayor, este último conectando los dos vértices (puntos de inflexión) de la hipérbola, con los dos ejes intersecándose en el centro de la hipérbola. Los puntos extremos(0,±b){\displaystyle (0,\pm b)}Los semiejes del eje menor se encuentran a la altura de las asíntotas sobre/debajo de los vértices de la hipérbola. Cualquiera de las dos mitades del eje menor se denomina semieje menor, de longitud b . Denotando la longitud del semieje mayor (distancia desde el centro a un vértice) como a , las longitudes de los semiejes menor y mayor aparecen en la ecuación de la hipérbola con respecto a estos ejes de la siguiente manera:

incógnita2a2−y2b2=1.{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}

El semieje menor también representa la distancia desde uno de los focos de la hipérbola hasta una asíntota. A menudo denominado parámetro de impacto , este parámetro es importante en física y astronomía, y mide la distancia que una partícula se desviará del foco si su trayectoria no se ve afectada por el cuerpo situado en él.

El semieje menor y el semieje mayor están relacionados a través de la excentricidad, como sigue:

b=ami2−1.{\displaystyle b=a{\sqrt {e^{2}-1}}.}[ 5 ]

Nótese que en una hipérbola b puede ser mayor que a . [ 6 ]

Astronomía

Período orbital

Gráfico logarítmico del período T frente al semieje mayor a (promedio del afelio y el perihelio) de algunas órbitas del Sistema Solar (las cruces indican los valores de Kepler), que muestra que a³ / T² es constante (línea verde). La tercera ley de Kepler muestra que la pendiente de esta línea es constante dentro de un sistema estelar dado, determinada por la masa de la estrella anfitriona (en este caso: el Sol).

En astrodinámica, el período orbital T de un cuerpo pequeño que orbita un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es: [ 1 ]

T=2πa3μ,{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}},}

dónde:

a es la longitud del semieje mayor de la órbita,
μ{\displaystyle \mu }es el parámetro gravitacional estándar del cuerpo central.

Cabe señalar que, para todas las elipses con un semieje mayor dado, el período orbital es el mismo, independientemente de su excentricidad.

El momento angular específico h de un cuerpo pequeño que orbita un cuerpo central en una órbita circular o elíptica es [ 1 ].

h=aμ(1−mi2),{\displaystyle h={\sqrt {a\mu (1-e^{2})}},}

dónde:

un yμ{\displaystyle \mu }son como se definen anteriormente,
e es la excentricidad de la órbita.

En astronomía , el semieje mayor es uno de los elementos orbitales más importantes de una órbita , junto con su período orbital . Para los objetos del Sistema Solar , el semieje mayor está relacionado con el período de la órbita mediante la tercera ley de Kepler (originalmente derivada empíricamente ): [ 1 ]

T2∝a3,{\displaystyle T^{2}\propto a^{3},}

donde T es el período y a es el semieje mayor. Esta forma resulta ser una simplificación de la forma general para el problema de dos cuerpos , como lo determinó Newton : [ 1 ]

T2=4π2GRAMO(METRO+metro)a3,{\displaystyle T^{2}={\frac {4\pi ^{2}}{G(M+m)}}a^{3},}

donde G es la constante gravitacional , M es la masa del cuerpo central y m es la masa del cuerpo en órbita. Normalmente, la masa del cuerpo central es mucho mayor que la del cuerpo en órbita, por lo que m puede ignorarse. Si se hace esta suposición y se utilizan unidades astronómicas comunes, se obtiene la fórmula simplificada que descubrió Kepler.

La trayectoria del cuerpo en órbita alrededor del baricentro y su trayectoria relativa a su primario son ambas elipses. [ 1 ] El semieje mayor se utiliza a veces en astronomía como la distancia primario-secundario cuando la relación de masas del primario al secundario es significativamente grande (METRO≫metro{\displaystyle M\gg m}); por lo tanto, los parámetros orbitales de los planetas se dan en términos heliocéntricos. La diferencia entre las órbitas primocéntricas y "absolutas" se puede ilustrar mejor observando el sistema Tierra-Luna. La relación de masas en este caso es81.300 59 . La distancia característica Tierra-Luna, el semieje mayor de la órbita lunar geocéntrica , es de 384.400  km. (Dada la excentricidad de la órbita lunar e  =  0,0549, su semieje menor es de 383.800  km. Por lo tanto, la órbita de la Luna es casi circular). La órbita lunar baricéntrica , por otro lado, tiene un semieje mayor de 379.730  km, y la contraórbita de la Tierra ocupa la diferencia, 4.670  km. La velocidad orbital baricéntrica promedio de la Luna es de 1,010  km/s, mientras que la de la Tierra es de 0,012  km/s. La suma de estas velocidades da una velocidad orbital lunar geocéntrica promedio de 1,022  km/s; el mismo valor se puede obtener considerando solo el valor del semieje mayor geocéntrico.

Distancia media

Se suele decir que el semieje mayor es la distancia "promedio" entre el foco principal de la elipse y el cuerpo en órbita. Esto no es del todo exacto, ya que depende de sobre qué se toma el promedio. La distancia promedio del cuerpo en órbita, calculada en función del tiempo y el ángulo, puede variar entre un 50 % y un 100 % con respecto al semieje mayor orbital, dependiendo de la excentricidad. [ 7 ]

  • Al promediar la distancia sobre la anomalía excéntrica, se obtiene efectivamente el semieje mayor.
  • El promedio sobre la anomalía verdadera (el ángulo orbital verdadero, medido en el foco) da como resultado el semieje menor.b=a1−mi2{\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}}}.
  • El promedio sobre la anomalía media (la fracción del período orbital que ha transcurrido desde el pericentro, expresada como un ángulo) da como resultado el promedio temporal.a(1+mi22){\displaystyle a\left(1+{\frac {e^{2}}{2}}\right)\,}.

El valor promedio en el tiempo del recíproco del radio,r−1{\displaystyle r^{-1}}, esa−1{\displaystyle a^{-1}}.

Energía; cálculo del semieje mayor a partir de vectores de estado

En astrodinámica , el semieje mayor a se puede calcular a partir de los vectores de estado orbital :

a=−μ2ε{\displaystyle a=-{\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

para una órbita elíptica y, dependiendo de la convención, la misma o

a=μ2ε{\displaystyle a={\frac {\mu }{2\varepsilon }}}

para una trayectoria hiperbólica y

ε=v22−μ|r|{\displaystyle \varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{|\mathbf {r} |}}}

( energía orbital específica ) y

μ=GRAMOMETRO,{\displaystyle \mu =GM,}

( parámetro gravitacional estándar ), donde:

v es la velocidad orbital a partir del vector de velocidad de un objeto en órbita,
r es un vector de posición cartesiana de un objeto en órbita en coordenadas de un marco de referencia con respecto al cual se deben calcular los elementos de la órbita (por ejemplo, geocéntrico ecuatorial para una órbita alrededor de la Tierra, o heliocéntrico eclíptico para una órbita alrededor del Sol),
G es la constante gravitacional ,
M es la masa del cuerpo gravitante, y
ε{\displaystyle \varepsilon }es la energía específica del cuerpo en órbita.

Cabe destacar que, para una masa total dada, la energía específica y el semieje mayor siempre son iguales, independientemente de la excentricidad o la relación de masas. A la inversa, para una masa total y un semieje mayor dados, la energía orbital específica total siempre es la misma. Esta afirmación siempre será cierta bajo cualquier condición.

Semiejes mayor y menor de las órbitas de los planetas

Las órbitas planetarias siempre se citan como ejemplos primordiales de elipses ( primera ley de Kepler ). Sin embargo, la mínima diferencia entre los semiejes mayor y menor muestra que son prácticamente circulares en apariencia. Esa diferencia (o razón) se basa en la excentricidad y se calcula comoab=11−mi2{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {1}{\sqrt {1-e^{2}}}}}, lo que para las excentricidades planetarias típicas arroja resultados muy pequeños.

La razón para la suposición de órbitas elípticas prominentes radica probablemente en la diferencia mucho mayor entre el afelio y el perihelio. Esa diferencia (o relación) también se basa en la excentricidad y se calcula comorarpag=1+mi1−mi{\displaystyle {\frac {r_{\text{a}}}{r_{\text{p}}}}={\frac {1+e}{1-e}}}Debido a la gran diferencia entre el afelio y el perihelio, la segunda ley de Kepler se visualiza fácilmente.

1 UA (unidad astronómica) equivale a 149,6 millones de kilómetros.

Referencias

  1. 1 2 3 4 5 6 Lissauer, Jack J.; de Pater, Imke (2019). Ciencias planetarias fundamentales: física, química y habitabilidad . Nueva York: Cambridge University Press. págs. 24–31 . ISBN  9781108411981.
  2. ↑ "Eje mayor / eje menor de una elipse" , Math Open Reference, 12 de mayo de 2013.
  3. ↑ Weisstein, Eric W. "Elipse" . mathworld.wolfram.com . Consultado el 20 de agosto de 2024 .
  4. ↑ "7.1 Caracterización alternativa" . www.geom.uiuc.edu . Archivado del original el 24-10-2018 . Consultado el 06-09-2007 .
  5. ↑ " La geometría de las órbitas: elipses, parábolas e hipérbolas" . www.bogan.ca
  6. ↑ "7.1 Caracterización alternativa" . Archivado del original el 24-10-2018 . Recuperado el 06-09-2007 .
  7. ↑ Williams, Darren M. (noviembre de 2003). "Distancia promedio entre una estrella y un planeta en una órbita excéntrica". American Journal of Physics . 71 (11): 1198– 1200. Bibcode : 2003AmJPh..71.1198W . doi : 10.1119/1.1578073 .
  • Semiejes mayor y menor de una elipse. Con animación interactiva.