Semimódulo

En matemáticas , un semimódulo sobre un semianillo R es una estructura algebraica análoga a un módulo sobre un anillo , con la excepción de que forma solo un monoide conmutativo con respecto a su operación de adición, a diferencia de un grupo abeliano .

Formalmente, un semimódulo izquierdo R consiste en un monoide conmutativo M escrito aditivamente y una aplicación de${\displaystyle R\times M}$a M que satisface los siguientes axiomas :

1. ${\displaystyle r(m+n)=rm+rn}$
2. ${\displaystyle (r+s)m=rm+sm}$
3. ${\displaystyle (rs)m=r(sm)}$
4. ${\displaystyle 1m=m}$
5. ${\displaystyle 0_{R}m=r0_{M}=0_{M}}$.

Un semimódulo R derecho se puede definir de forma similar. Para módulos sobre un anillo, el último axioma se deduce de los demás. Esto no ocurre con los semimódulos.

Si R es un anillo , entonces cualquier R -módulo es un R -semimódulo. Recíprocamente, se deduce del segundo, cuarto y último axioma que (−1) m es un inverso aditivo de m para todo${\displaystyle m\in M}$, por lo que cualquier semimódulo sobre un anillo es, de hecho, un módulo.

Cualquier semianillo es un semimódulo izquierdo y derecho sobre sí mismo de la misma manera que un anillo es un módulo izquierdo y derecho sobre sí mismo. Todo monoide conmutativo es unívocamente un semianillo.${\displaystyle \mathbb {N} }$-semimódulo de la misma manera que un grupo abeliano es un${\displaystyle \mathbb {Z} }$-módulo.

Golan, Jonathan S. (1999), "Semimódulos sobre semianillos" , Semianillos y sus aplicaciones , Dordrecht: Springer Netherlands, pp. 149–161 , ISBN  978-90-481-5252-0, consultado el 22 de febrero de 2022