Teorema de reducción semiestable

En geometría algebraica , los teoremas de reducción semiestables establecen que, dado un morfismo plano propio de esquemas${\displaystyle X\to S}$, existe un morfismo${\displaystyle S'\to S}$(llamado cambio de base) de tal manera que${\displaystyle X\times _{S}S'\to S'}$es semiestable (es decir, las singularidades son leves en cierto sentido). Las formulaciones precisas dependen de las versiones específicas del teorema. Por ejemplo, si${\displaystyle S}$es el disco de la unidad en${\displaystyle \mathbb {C} }$, entonces "semiestable" significa que la fibra especial es un divisor con cruces normales . ^{[ 1 ]}

El teorema fundamental de reducción semiestable para variedades abelianas de Grothendieck muestra que si${\displaystyle A}$es una variedad abeliana sobre el cuerpo de fracciones${\displaystyle K}$de un anillo de valoración discreto${\displaystyle {\mathcal {O}}}$, entonces hay una extensión de campo finita${\displaystyle L/K}$de tal manera que${\displaystyle A_{(L)}=A\otimes _{K}L}$tiene una reducción semiestable sobre el cierre integral${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L}}$de${\displaystyle {\mathcal {O}}}$en${\displaystyle L}$. Aquí, la semiestabilidad significa más precisamente que si${\displaystyle {\mathcal {A}}_{L}}$es el modelo de Nerón de${\displaystyle A_{(L)}}$encima${\displaystyle {\mathcal {O}}_{L},}$luego las fibras${\displaystyle {\mathcal {A}}_{L,s}}$de${\displaystyle {\mathcal {A}}_{L}}$sobre los puntos cerrados${\displaystyle s\in S=\mathrm {Spec} ({\mathcal {O}}_{L})}$(que siempre son grupos algebraicos suaves ) son extensiones de variedades abelianas por toros . ^{[ 2 ]} Aquí${\displaystyle S}$es el análogo algebraico-geométrico del disco "pequeño" alrededor del${\displaystyle s\in S}$y la condición del teorema establece esencialmente que${\displaystyle A}$puede pensarse como una familia suave de variedades abelianas alejadas de${\displaystyle s}$; la conclusión muestra entonces que después del cambio de base esta "familia" se extiende a la${\displaystyle s}$para que también las fibras sobre el${\displaystyle s}$son casi variedades abelianas.

El importante teorema de reducción semiestable para curvas algebraicas fue demostrado por primera vez por Deligne y Mumford . ^{[ 3 ]} La demostración procede mostrando que la curva tiene reducción semiestable si y solo si su variedad jacobiana (que es una variedad abeliana) tiene reducción semiestable; luego se aplica el teorema para variedades abelianas mencionado anteriormente.

• Deligne, P.; Mumford, D. (1969). "La irreductibilidad del espacio de curvas de determinado género". Publicaciones Mathématiques de l'Institut des Hautes Scientifiques . 36 (36): 75– 109. doi : 10.1007/BF02684599 . S2CID 16482150 . 
• Grothendieck, Alejandro (1972). Groupes de Monodromie en Géométrie Algébrique . Apuntes de conferencias de matemáticas (en francés). vol.  288. Berlín; Nueva York: Springer-Verlag . viii+523. doi : 10.1007/BFb0068688 . ISBN 978-3-540-05987-5MR 0354656 .​ 
• Kempf, G.; Knudsen, Finn Faye; Mumford, David ; Saint-Donat, B. (1973), Toroidal Embeddings I , Lecture Notes in Mathematics, vol.  339, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/BFb0070318 , ISBN 978-3-540-06432-9, MR 0335518 
• Morrison, David R. (1984). «Capítulo VI. La sucesión exacta de Clemens-Schmid y sus aplicaciones» (PDF) . Temas de geometría algebraica trascendental (AM-106) . págs. 101-120 . doi : 10.1515/9781400881659-007 . ISBN  9781400881659. S2CID 125739605 . 

• "Capítulo 55: Reducción semiestable, §55.1: Introducción" . El proyecto Stacks .