La conjetura de Sendov

En matemáticas , la conjetura de Sendov , también conocida como conjetura de Ilieff , trata sobre la relación entre la ubicación de las raíces y los puntos críticos de una función polinómica de una variable compleja . Recibe su nombre de Blagovest Sendov .

La conjetura afirma que para un polinomio

${\displaystyle f(z)=(z-r_{1})\cdots (z-r_{n}),\qquad (n\geq 2)}$

con todas las raíces r ₁ , ...,  r _n dentro del disco unitario cerrado | z | ≤ 1, cada una de las n raíces está a una distancia no mayor que 1 de al menos un punto crítico .

El teorema de Gauss-Lucas establece que todos los puntos críticos se encuentran dentro de la envoltura convexa de las raíces. Por lo tanto, los puntos críticos deben estar dentro del disco unitario, puesto que las raíces lo están.

La conjetura ha sido demostrada para  n  < 9 por Brown-Xiang y para  n suficientemente grande por Tao . ^{[ 1 ] [ 2 ]}

La conjetura fue propuesta por primera vez por Blagovest Sendov en 1959; la describió a su colega Nikola Obreshkov . En 1967, Walter Hayman atribuyó erróneamente la conjetura ^{[ 3 ]} a Ljubomir Iliev . ^{[ 4 ]} En 1969, Meir y Sharma demostraron la conjetura para polinomios con n < 6. En 1991, Brown demostró la conjetura para n < 7. Borcea extendió la demostración a n < 8 en 1996. Brown y Xiang ^{[ 5 ]} demostraron la conjetura para n < 9 en 1999. En 2020, Terence Tao demostró la conjetura en el caso especial de polinomios con grado suficientemente alto . ^{[ 6 ]}

• G. Schmeisser, "Las conjeturas de Sendov y Smale ", Teoría de la aproximación: un volumen dedicado a Blagovest Sendov (B. Bojoanov, ed.), Sofía: DARBA, 2002, págs. 353-369.

• La conjetura de Sendov, por Bruce Torrence, con contribuciones de Paul Abbott en el Proyecto de Demostraciones de Wolfram.