Espacio separable

En matemáticas , un espacio topológico se denomina separable si contiene un subconjunto denso numerable ; es decir, existe una secuencia $(x_{n})_{n=1}^{\infty }$ de elementos del espacio tales que cada subconjunto abierto no vacío del espacio contiene al menos un elemento de la secuencia.

Al igual que los demás axiomas de numerabilidad , la separabilidad es una "limitación de tamaño", no necesariamente en términos de cardinalidad (aunque, en presencia del axioma de Hausdorff , esto sí resulta ser así; véase más adelante), sino en un sentido topológico más sutil. En particular, toda función continua en un espacio separable cuya imagen es un subconjunto de un espacio de Hausdorff está determinada por sus valores en el subconjunto denso numerable.

Contrasta la separabilidad con la noción relacionada de segunda numerabilidad , que en general es más fuerte pero equivalente en la clase de espacios metrizables .

Primeros ejemplos

Cualquier espacio topológico que sea finito o infinitamente numerable es separable, ya que todo el espacio es un subconjunto denso numerable de sí mismo. Un ejemplo importante de un espacio separable no numerable es la recta real , en la que los números racionales forman un subconjunto denso numerable. De manera similar, el conjunto de todos los elementos de longitud- $n$ vectores de números racionales, ${\boldsymbol {r}}=(r_{1},\ldots ,r_{n})\in \mathbb {Q} ^{n}$ , es un subconjunto denso contable del conjunto de todos los elementos de longitud- $n$ vectores de números reales, $\mathbb {R} ^{n}$ ; así que para cada $n$ , $n$ El espacio euclidiano de -dimensiones es separable.

Un ejemplo sencillo de un espacio que no es separable es un espacio discreto de cardinalidad incontable.

A continuación se ofrecen más ejemplos.

Separabilidad versus segunda contabilizabilidad

Cualquier espacio contable en segundo orden es separable: si $\{U_{n}\}$ es una base contable, eligiendo cualquier $x_{n}\in U_{n}$ del no vacío $U_{n}$ da un subconjunto denso contable. Por el contrario, un espacio metrizable es separable si y solo si es segundo contable, lo cual ocurre si y solo si es Lindelöf .

Para comparar aún más estas dos propiedades:

Un subespacio arbitrario de un espacio segundo numerable es segundo numerable; los subespacios de espacios separables no tienen por qué ser separables (véase más abajo).
Cualquier imagen continua de un espacio separable es separable ( Willard 1970 , Teorema 16.4a) ; incluso un cociente de un espacio segundo-contable no tiene por qué ser segundo-contable.
Un producto de como máximo un continuo de espacios separables es separable ( Willard 1970 , p. 109, Teorema 16.4c) . Un producto numerable de espacios segundo numerables es segundo numerable, pero un producto no numerable de espacios segundo numerables no tiene por qué ser primero numerable.

Podemos construir un ejemplo de un espacio topológico separable que no sea segundo numerable. Consideremos cualquier conjunto no numerable. $X$ , elige algunos $x_{0}\in X$ y definimos la topología como la colección de todos los conjuntos que contienen $x_{0}$ (o están vacíos). Luego, el cierre de ${x_{0}}$ es todo el espacio ( $X$ es el conjunto cerrado más pequeño que contiene $x_{0}$ ), pero cada conjunto de la forma $\{x_{0},x\}$ es abierto. Por lo tanto, el espacio es separable pero no puede tener una base numerable.

Cardinalidad

La propiedad de separabilidad no impone por sí misma ninguna limitación a la cardinalidad de un espacio topológico: cualquier conjunto dotado de la topología trivial es separable, así como segundo numerable, cuasicompacto y conexo . El "problema" de la topología trivial reside en sus deficientes propiedades de separación: su cociente de Kolmogorov es el espacio de un punto.

Un espacio de Hausdorff separable y numerable de primer orden (en particular, un espacio métrico separable) tiene como máximo la cardinalidad del continuo. ${\mathfrak {c}}$ En un espacio de este tipo, el cierre está determinado por los límites de las sucesiones y cualquier sucesión convergente tiene como máximo un límite, por lo que existe una aplicación sobreyectiva del conjunto de sucesiones convergentes con valores en el subconjunto denso numerable a los puntos de $X$ .

Un espacio de Hausdorff separable tiene cardinalidad como máximo $2^{\mathfrak {c}}$ , dónde ${\mathfrak {c}}$ es la cardinalidad del continuo. Para este cierre se caracteriza en términos de límites de bases de filtro : si $Y\subsetequ X$ y $z\in X$ , entonces $z\in {\overline {Y}}$ si y solo si existe una base de filtro ${\mathcal {B}}$ que consta de subconjuntos de $Y$ que converge a $z$ La cardinalidad del conjunto $S(Y)$ de tales bases de filtro es como máximo $2^{2^{|Y|}}$ Además, en un espacio de Hausdorff, existe como máximo un límite para cada base de filtro. Por lo tanto, existe una sobreyección. $S(Y)\rightarrow X$ cuando ${\overline {Y}}=X.$

Los mismos argumentos establecen un resultado más general: supongamos que un espacio topológico de Hausdorff $X$ contiene un subconjunto denso de cardinalidad $\kappa$ . Entonces $X$ tiene cardinalidad como máximo $2^{2^{\kappa }}$ y cardinalidad como máximo $2^{\kappa }$ si es contable primero.

El producto de como máximo un continuo de muchos espacios separables es un espacio separable ( Willard 1970 , p. 109, Th 16.4c) . En particular, el espacio $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ de todas las funciones desde la recta real hasta sí misma, dotada de la topología de producto, es un espacio de Hausdorff separable de cardinalidad $2^{\mathfrak {c}}$ . De manera más general, si $\kappa$ es cualquier cardinal infinito, entonces un producto de como máximo $2^{\kappa }$ espacios con subconjuntos densos de tamaño como máximo $\kappa$ tiene en sí mismo un subconjunto denso de tamaño como máximo $\kappa$ ( Teorema de Hewitt-Marczewski-Pondiczery ).

matemáticas constructivas

La separabilidad es especialmente importante en el análisis numérico y las matemáticas constructivas , ya que muchos teoremas que pueden demostrarse para espacios no separables solo tienen demostraciones constructivas para espacios separables. Dichas demostraciones constructivas pueden transformarse en algoritmos para su uso en el análisis numérico, y son el único tipo de demostración aceptable en el análisis constructivo. Un ejemplo famoso de un teorema de este tipo es el teorema de Hahn-Banach .

Otros ejemplos

Espacios separables

Todo espacio métrico compacto (o espacio metrizable) es separable.
Cualquier espacio topológico que sea la unión de un número contable de subespacios separables es separable. Juntos, estos dos primeros ejemplos dan una prueba diferente de que $n$ El espacio euclidiano de -dimensiones es separable.
El espacio $C(K)$ de todas las funciones continuas de un subconjunto compacto $K\subseteq \mathbb {R}$ a la línea real $\mathbb {R}$ es separable.
Los espacios de Lebesgue $L^{p}\left(X,\mu \right)$ , sobre un espacio de medida $\left\langle X,{\mathcal {M}},\mu \right\rangle$ cuya σ-álgebra es numerablemente generada y cuya medida es σ-finita, son separables para cualquier $1\leq p<\infty$ . ^{[ 1 ]}
El espacio $C([0,1])$ de funciones continuas de valor real en el intervalo unitario $[0,1]$ con la métrica de convergencia uniforme es un espacio separable, ya que del teorema de aproximación de Weierstrass se deduce que el conjunto $\mathbb {Q} [x]$ de polinomios en una variable con coeficientes racionales es un subconjunto denso contable de $C([0,1])$ El teorema de Banach-Mazur afirma que cualquier espacio de Banach separable es isométricamente isomorfo a un subespacio lineal cerrado de $C([0,1])$ .
Un espacio de Hilbert es separable si y solo si tiene una base ortonormal numerable . De ello se deduce que cualquier espacio de Hilbert separable de dimensión infinita es isométrico al espacio. $l^{2}$ de secuencias sumables al cuadrado.
Un ejemplo de espacio separable que no es segundo numerable es la línea de Sorgenfrey. $\mathbb {S}$ , el conjunto de números reales equipados con la topología de límite inferior .
Una σ -álgebra separable es una σ -álgebra ${\mathcal {F}}$ que es un espacio separable cuando se considera como un espacio métrico con métrica $\rho (A,B)=\mu (A\triangle B)$ para $A,B\in {\mathcal {F}}$ y una medida finita dada $\mu$ (y con $\triangle$ siendo el operador de diferencia simétrica ). ^{[ 2 ]}

Espacios no separables

El primer ordinal incontable $\omega _{1}$ , equipado con su topología de orden natural , no es separable.
El espacio Banach $l^{\infty }$ de todas las secuencias reales acotadas, con la norma suprema , no es separable. Lo mismo ocurre con $L^{\infty }$ .
El espacio de Banach de funciones de variación acotada no es separable.

Propiedades

Un subespacio de un espacio separable no tiene por qué ser separable (véanse el plano de Sorgenfrey y el plano de Moore ), pero todo subespacio abierto de un espacio separable es separable ( Willard 1970 , Teorema 16.4b) . Asimismo, todo subespacio de un espacio métrico separable es separable.
De hecho, todo espacio topológico es un subespacio de un espacio separable de la misma cardinalidad . Solo es necesario añadir una cantidad numerable de puntos: los puntos del subconjunto denso numerable del espacio separable. En ( Sierpiński 1952 , p. 49) se presenta una construcción que, además, permite incrustar todo espacio de Hausdorff en un espacio de Hausdorff separable.
El conjunto de todas las funciones continuas de valor real en un espacio separable tiene una cardinalidad igual a ${\mathfrak {c}}$ , la cardinalidad del continuo . Esto se deduce ya que dichas funciones están determinadas por sus valores en subconjuntos densos.
De la propiedad anterior se deduce lo siguiente: Si X es un espacio separable que tiene un subespacio discreto cerrado no numerable, entonces X no puede ser normal . Esto demuestra que el plano de Sorgenfrey no es normal.
Para un espacio de Hausdorff compacto X , las siguientes expresiones son equivalentes:
1. X es segundo contable.
2. El espacio ${\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )$ de funciones continuas de valor real en X con la norma del supremo es separable.
3. X es métrico.

Incrustaciones de espacios métricos separables

Todo espacio métrico separable es homeomorfo a un subconjunto del cubo de Hilbert . Esto se establece en la demostración del teorema de metrización de Urysohn .
Todo espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto del espacio de Banach (no separable) l ^∞ de todas las sucesiones reales acotadas con la norma del supremo ; esto se conoce como la incrustación de Fréchet. ( Heinonen 2003 )
Todo espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto de C([0,1]), el espacio de Banach separable de funciones continuas [0,1] → R , con la norma del supremo . Esto se debe a Stefan Banach . ( Heinonen 2003 )
Todo espacio métrico separable es isométrico a un subconjunto del espacio universal de Urysohn .

Para espacios no separables :

Un espacio métrico de densidad igual a un cardinal infinito $α$ es isométrico a un subespacio de $C([0,1] α, R)$ , el espacio de funciones continuas reales sobre el producto de $α$ copias del intervalo unitario. ( Kleiber y Pervin 1969 )

Referencias

^ Donald L. Cohn (2013). Teoría de la medida . Birkhäuser Textos avanzados Basler Lehrbücher. Springer Ciencia + Medios comerciales . doi : 10.1007/978-1-4614-6956-8 . ISBN 978-1-4614-6955-1., Proposición 3.4.5.
↑ Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). "Propiedades de la clase de espacios compactos separables en medida" (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. arXiv : math/9408201 . Bibcode : 1994math......8201D . If $\mu$ es una medida de Borel en $X$ , el álgebra de medidas de $(X,\mu )$ es el álgebra booleana de todos los conjuntos de Borel módulo $\mu$ -conjuntos nulos. Si $\mu$ es finito, entonces tal álgebra de medida es también un espacio métrico, donde la distancia entre los dos conjuntos es la medida de su diferencia simétrica. Entonces, decimos que $\mu$ es separable si y solo si este espacio métrico es separable como espacio topológico.

Heinonen, Juha (enero de 2003), Incrustaciones geométricas de espacios métricos (PDF) , consultado el 6 de febrero de 2009.

Kelley, John L. (1975), Topología general , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-90125-1, MR 0370454
Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969), "Un teorema generalizado de Banach-Mazur", Bull. Austral. Math. Soc. , 1 (2): 169– 173, doi : 10.1017/S0004972700041411
Sierpiński, Wacław (1952), Topología general , Exposiciones matemáticas, n.° 7, Toronto, Ontario: University of Toronto Press, MR 0050870
Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Counterexamples in Topology ( reimpresión de Dover de la edición de 1978 ), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446
Willard, Stephen (1970), Topología general , Addison-Wesley , ISBN 978-0-201-08707-9, MR 0264581

[1] Donald L. Cohn (2013). Teoría de la medida . Birkhäuser Textos avanzados Basler Lehrbücher. Springer Ciencia + Medios comerciales . doi : 10.1007/978-1-4614-6956-8 . ISBN 978-1-4614-6955-1., Proposición 3.4.5.

[2] Džamonja, Mirna; Kunen, Kenneth (1995). "Propiedades de la clase de espacios compactos separables en medida" (PDF) . Fundamenta Mathematicae : 262. arXiv : math/9408201 . Bibcode : 1994math......8201D . If $\mu$ es una medida de Borel en $X$ , el álgebra de medidas de $(X,\mu )$ es el álgebra booleana de todos los conjuntos de Borel módulo $\mu$ -conjuntos nulos. Si $\mu$ es finito, entonces tal álgebra de medida es también un espacio métrico, donde la distancia entre los dos conjuntos es la medida de su diferencia simétrica. Entonces, decimos que $\mu$ es separable si y solo si este espacio métrico es separable como espacio topológico.

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