Cierre algebraico

En matemáticas , particularmente en álgebra abstracta , un cierre algebraico de un cuerpo K es una extensión algebraica de K que es algebraicamente cerrada . Es uno de los muchos cierres en matemáticas.

Utilizando el lema de Zorn ^{[1] [2] [3]} o el lema del ultrafiltro más débil , ^{[4] [5]} se puede demostrar que cada cuerpo tiene un cierre algebraico, y que el cierre algebraico de un cuerpo K es único hasta un isomorfismo que fija cada miembro de K . Debido a esta unicidad esencial, a menudo hablamos del cierre algebraico de K , en lugar de un cierre algebraico de K .

El cierre algebraico de un cuerpo K puede considerarse como la mayor extensión algebraica de K. Para ver esto, note que si L es cualquier extensión algebraica de K , entonces el cierre algebraico de L es también un cierre algebraico de K , y por lo tanto L está contenido dentro del cierre algebraico de K. El cierre algebraico de K es también el cuerpo algebraicamente cerrado más pequeño que contiene a K , porque si M es cualquier cuerpo algebraicamente cerrado que contiene a K , entonces los elementos de M que son algebraicos sobre K forman un cierre algebraico de K.

El cierre algebraico de un campo K tiene la misma cardinalidad que K si K es infinito, y es contablemente infinito si K es finito. ^[3]

• El teorema fundamental del álgebra establece que el cierre algebraico del campo de los números reales es el campo de los números complejos .
• El cierre algebraico del campo de los números racionales es el campo de los números algebraicos .
• Hay muchos campos algebraicamente cerrados contables dentro de los números complejos, y que contienen estrictamente el campo de los números algebraicos; estos son los cierres algebraicos de las extensiones trascendentales de los números racionales, por ejemplo, el cierre algebraico de Q (π).
• Para un cuerpo finito de orden de potencia primo q , el cierre algebraico es un cuerpo contablemente infinito que contiene una copia del cuerpo de orden q ⁿ para cada entero positivo n (y es de hecho la unión de estas copias). ^[6]

Sea el conjunto de todos los polinomios irreducibles mónicos en K [ x ]. Para cada , introduzca nuevas variables donde . Sea R el anillo polinomial sobre K generado por para todos y todos . Escriba ${\displaystyle S=\{f_{\lambda }|\lambda \en \Lambda \}}$ ${\displaystyle f_{\lambda}\en S}$${\displaystyle u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}}$${\displaystyle d={\rm {grado}}(f_{\lambda })}$${\displaystyle u_{\lambda,i}}$${\displaystyle \lambda \en \Lambda}$${\displaystyle i\leq {\rm {grado}}(f_{\lambda })}$

${\displaystyle f_{\lambda}-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]}$

con . Sea I el ideal en R generado por el . Puesto que I es estrictamente menor que R , el lema de Zorn implica que existe un ideal maximal M en R que contiene a I . El campo K ₁ = R / M tiene la propiedad de que todo polinomio con coeficientes en K se descompone como el producto de y por tanto tiene todas las raíces en K ₁ . De la misma manera, se puede construir una extensión K ₂ de K _{1 , etc. La unión de todas estas extensiones es la clausura algebraica de} K , porque cualquier polinomio con coeficientes en este nuevo campo tiene sus coeficientes en algún K _n con n suficientemente grande , y entonces sus raíces están en K _{n +1} , y por tanto en la unión misma. ${\displaystyle r_{\lambda ,j}\en R}$${\displaystyle r_{\lambda ,j}}$${\displaystyle f_{\lambda}}$${\displaystyle x-(u_{\lambda ,i}+M),}$

Se puede demostrar en la misma línea que para cualquier subconjunto S de K [ x ], existe un campo de división de S sobre K .

Un cierre algebraico K ^alg de K contiene una extensión separable única K ^sep de K que contiene todas las extensiones separables (algebraicas) de K dentro de K ^alg . Esta subextensión se llama cierre separable de K . Dado que una extensión separable de una extensión separable es a su vez separable, no hay extensiones separables finitas de K ^sep , de grado > 1. Dicho de otro modo, K está contenido en un cuerpo de extensión algebraica cerrado separablemente . Es único ( salvo isomorfismo). ^[7]

La clausura separable es la clausura algebraica completa si y solo si K es un cuerpo perfecto . Por ejemplo, si K es un cuerpo de característica p y si X es trascendental sobre K , es una extensión de cuerpo algebraico no separable. ${\displaystyle K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)}$

En general, el grupo de Galois absoluto de K es el grupo de Galois de K ^sep sobre K . ^[8]

• Campo algebraicamente cerrado
• Extensión algebraica
• Expansión de Puiseux
• Campo completo

• Kaplansky, Irving (1972). Campos y anillos . Conferencias de matemáticas en Chicago (segunda edición). University of Chicago Press. ISBN 0-226-42451-0.Zbl1001.16500  .​
• McCarthy, Paul J. (1991). Extensiones algebraicas de campos (Reimpresión corregida de la 2.ª ed.). Nueva York: Dover Publications. Zbl  0768.12001.