Cierre algebraico

En matemáticas , particularmente en álgebra abstracta , una clausura algebraica de un cuerpo K es una extensión algebraica de K que es algebraicamente cerrada . Es una de las muchas clausuras en matemáticas.

Utilizando el lema de Zorn ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} o el lema del ultrafiltro más débil , ^{[ 4 ] [ 5 ]} se puede demostrar que todo cuerpo tiene una clausura algebraica , y que la clausura algebraica de un cuerpo K es única salvo un isomorfismo que fija cada miembro de K . Debido a esta unicidad esencial, a menudo hablamos de la clausura algebraica de K , en lugar de una clausura algebraica de K .

La clausura algebraica de un cuerpo K puede considerarse como la mayor extensión algebraica de K. Para comprobarlo, observemos que si L es cualquier extensión algebraica de K , entonces la clausura algebraica de L también es una clausura algebraica de K , por lo que L está contenida dentro de la clausura algebraica de K. La clausura algebraica de K es también el cuerpo cerrado algebraico más pequeño que contiene a K , porque si M es cualquier cuerpo cerrado algebraico que contiene a K , entonces los elementos de M que son algebraicos sobre K forman una clausura algebraica de K.

La clausura algebraica de un cuerpo K tiene la misma cardinalidad que K si K es infinito, y es infinitamente numerable si K es finito. ^{[ 3 ]}

• El teorema fundamental del álgebra establece que la clausura algebraica del cuerpo de los números reales es el cuerpo de los números complejos .
• La clausura algebraica del cuerpo de los números racionales es el cuerpo de los números algebraicos .
• Existen muchos cuerpos numerables algebraicamente cerrados dentro de los números complejos, y que contienen estrictamente el cuerpo de los números algebraicos; estos son los cierres algebraicos de extensiones trascendentales de los números racionales, por ejemplo, el cierre algebraico de${\displaystyle \mathbf {Q} (\pi )}$.
• Para un campo finito de orden de potencia prima${\displaystyle q}$, la clausura algebraica es un cuerpo infinito numerable que contiene una copia del cuerpo de orden${\displaystyle q^{n}}$para cada entero positivo${\displaystyle n}$(y es de hecho la unión de estas copias). ^{[ 6 ]}

Dejar${\displaystyle S=\{f_{\lambda }\mid \lambda \in \Lambda \}}$sea ​​el conjunto de todos los polinomios irreducibles mónicos en${\displaystyle K[x]}$. Para cada${\displaystyle f_{\lambda }\in S}$, introducir nuevas variables${\displaystyle u_{\lambda ,1},\ldots ,u_{\lambda ,d}}$dónde${\displaystyle d={\rm {grado}}(f_{\lambda })}$. Dejar${\displaystyle R}$sea ​​el anillo de polinomios sobre${\displaystyle K}$generado por${\displaystyle u_{\lambda,i}}$a pesar de${\displaystyle \lambda \in \Lambda }$y todo${\displaystyle i\leq {\rm {grado}}(f_{\lambda }).}$Escribir

${\displaystyle f_{\lambda }-\prod _{i=1}^{d}(x-u_{\lambda ,i})=\sum _{j=0}^{d-1}r_{\lambda ,j}\cdot x^{j}\in R[x]}$

con${\displaystyle r_{\lambda ,j}\in R}$. Dejar ${\displaystyle I}$ser el ideal en${\displaystyle R}$generado por el${\displaystyle r_{\lambda,j}}$. Desde${\displaystyle I}$es estrictamente más pequeño que ${\displaystyle R}$El lema de Zorn implica que existe un ideal maximal.${\displaystyle M}$en${\displaystyle R}$que contiene${\displaystyle I}$El campo${\displaystyle K_{1}=R/M}$tiene la propiedad de que todo polinomio${\displaystyle f_{\lambda }}$con coeficientes en${\displaystyle K}$se divide como el producto de${\displaystyle x-(u_{\lambda ,i}+M),}$y por lo tanto tiene todas sus raíces en${\displaystyle K_{1}}$. Del mismo modo, una extensión${\displaystyle K_{2}}$de${\displaystyle K_{1}}$se puede construir, etc. La unión de todas estas extensiones es el cierre algebraico de${\displaystyle K}$, porque cualquier polinomio con coeficientes en este nuevo campo tiene sus coeficientes en algún${\displaystyle K_{n}}$con suficientemente grande${\displaystyle n}$y entonces sus raíces están en${\displaystyle K_{n+1}}$y, por lo tanto, en la propia unión.

Se puede demostrar de la misma manera que para cualquier subconjunto${\displaystyle S}$de${\displaystyle K[x]}$, existe un campo de división de${\displaystyle S}$encima${\displaystyle K}$.

Un cierre algebraico${\displaystyle K^{\text{alg}}}$de${\displaystyle K}$contiene una extensión separable única${\displaystyle K^{\text{sep}}}$de K que contiene todas las extensiones separables (algebraicas) de${\displaystyle K}$dentro${\displaystyle K^{\text{alg}}}$Esta subextensión se denomina clausura separable de${\displaystyle K}$. Dado que una extensión separable de una extensión separable es nuevamente separable, no existen extensiones separables finitas de${\displaystyle K^{\text{sep}}}$, de grado > 1. Dicho de otra manera,${\displaystyle K}$está contenido en un cuerpo de extensión algebraica separadoramente cerrado . Es único ( salvo isomorfismo). ^{[ 7 ]}

El cierre separable es el cierre algebraico completo si y solo si${\displaystyle K}$es un campo perfecto . Por ejemplo, si${\displaystyle K}$es un campo de características${\displaystyle p}$y si${\displaystyle X}$es trascendental sobre${\displaystyle K}$,${\displaystyle K(X)({\sqrt[{p}]{X}})\supset K(X)}$es una extensión de cuerpo algebraico no separable.

En general, el grupo absoluto de Galois de${\displaystyle K}$es el grupo de Galois de${\displaystyle K^{\text{sep}}}$encima${\displaystyle K}$. ^{[ 8 ]}

• Puiseux expansion
• Campo completo

• Kaplansky, Irving (1972). Campos y anillos . Conferencias de matemáticas de Chicago (Segunda  edición). University of Chicago Press. ISBN 0-226-42451-0. Zbl 1001.16500 . 
• McCarthy, Paul J. (1991). Extensiones algebraicas de cuerpos (Reimpresión corregida de la 2.ª  ed.). Nueva York: Dover Publications. Zbl 0768.12001 .