Conjetura de modularidad de Serre

En matemáticas , la conjetura de modularidad de Serre , introducida por Jean-Pierre Serre (1975, 1987), establece que una representación de Galois  impar, irreducible y bidimensional sobre un cuerpo finito surge de una forma modular. Una versión más fuerte de esta conjetura especifica el peso y el nivel de la forma modular. La conjetura en el caso de nivel 1 fue demostrada por Chandrashekhar Khare en 2005, ^[1] y una demostración de la conjetura completa fue completada conjuntamente por Khare y Jean-Pierre Wintenberger en 2008. ^[2]

La conjetura se refiere al grupo de Galois absoluto del cuerpo de números racionales . ${\displaystyle G_{\mathbb {Q}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q}}$

Sea una representación bidimensional, continua y absolutamente irreducible de sobre un campo finito . ${\estilo de visualización \rho}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q}}}$${\displaystyle F=\mathbb {F} _{\ell ^{r}}}$

${\displaystyle \rho \colon G_{\mathbb {Q}}\rightarrow \mathrm {GL} _{2}(F).}$

Además, se asume que es impar, lo que significa que la imagen de conjugación compleja tiene determinante -1. ${\estilo de visualización \rho}$

A cualquier forma propia modular normalizada

${\displaystyle f=q+a_{2}q^{2}+a_{3}q^{3}+\cpuntos}$

de nivel , peso y algún carácter Nebentype${\displaystyle N=N(\rho )}$ ${\displaystyle k=k(\rho )}$

${\displaystyle \chi \colon \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \rightarrow F^{*}}$,

Un teorema debido a Shimura, Deligne y Serre-Deligne se aplica a una representación ${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle \rho _{f}\colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}({\mathcal {O}}),}$

donde es el anillo de los números enteros en una extensión finita de . Esta representación se caracteriza por la condición de que para todos los números primos , coprimos con , tenemos ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$${\estilo de visualización p}$${\displaystyle N\ell}$

${\displaystyle \operatorname {Rastro} (\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=a_{p}}$

y

${\displaystyle \det(\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=p^{k-1}\chi (p).}$

Reduciendo esta representación módulo el ideal máximo de da una representación mod de . ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$${\displaystyle \ell}$${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}}$${\displaystyle G_{\mathbb {Q}}}$

La conjetura de Serre afirma que para cualquier representación como la anterior, existe una forma propia modular tal que ${\estilo de visualización \rho}$${\estilo de visualización f}$

${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}\cong \rho }$.

El nivel y el peso de la forma conjetural se conjeturan explícitamente en el artículo de Serre. Además, deduce una serie de resultados de esta conjetura, entre ellos el Último Teorema de Fermat y la conjetura de Taniyama-Weil (o Taniyama-Shimura), ahora probada, conocida ahora como el teorema de modularidad (aunque esto implica el Último Teorema de Fermat, Serre lo demuestra directamente a partir de su conjetura). ${\displaystyle f}$

La forma fuerte de la conjetura de Serre describe el nivel y el peso de la forma modular.

El nivel óptimo es el del conductor Artin de la representación, con el poder eliminado. ${\displaystyle l}$

Una prueba de los casos de nivel 1 y de peso pequeño de la conjetura fue obtenida en 2004 por Chandrashekhar Khare y Jean-Pierre Wintenberger , ^[3] y por Luis Dieulefait, ^[4] independientemente.

En 2005, Chandrashekhar Khare obtuvo una prueba del caso de nivel 1 de la conjetura de Serre, ^[5] y en 2008 una prueba de la conjetura completa en colaboración con Jean-Pierre Wintenberger. ^[6]

• Serre, Jean-Pierre (1975), "Valeurs propres des opérateurs de Hecke módulo l", Journées Arithmétiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, 1974), Astérisque , 24–25: 109–117, ISSN  0303-1179, Señor  0382173
• Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal( Q /Q)", Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179–230, doi :10.1215/S0012-7094-87-05413 -5, ISSN  0012-7094, SEÑOR  0885783
• Stein, William A.; Ribet, Kenneth A. (2001), "Conferencias sobre las conjeturas de Serre", en Conrad, Brian; Rubin, Karl (eds.), Geometría algebraica aritmética (Park City, UT, 1999) , IAS/Park City Math. Ser., vol. 9, Providence, RI: American Mathematical Society , págs. 143–232, ISBN 978-0-8218-2173-2, Sr.  1860042

• Prueba de Wiles del último teorema de Fermat

• Conjetura de modularidad de Serre ^[usurpada] Conferencia de 50 minutos dictada por Ken Ribet el 25 de octubre de 2007 (diapositivas en formato PDF, otra versión de diapositivas en formato PDF)
• Lecciones sobre las conjeturas de Serre