La conjetura de modularidad de Serre

En matemáticas , la conjetura de modularidad de Serre , introducida por Jean-Pierre Serre ( 1975 , 1987 ) , afirma que una representación de Galois bidimensional, irreducible e impar sobre un cuerpo finito surge de una forma modular. Una versión más fuerte de esta conjetura especifica el peso y el nivel de la forma modular. La conjetura en el caso de nivel 1 fue demostrada por Chandrashekhar Khare en 2005 ^{[ 1 ]} , y una demostración de la conjetura completa fue realizada conjuntamente por Khare y Jean-Pierre Wintenberger en 2008 ^{[ 2 ].} 

La conjetura se refiere al grupo absoluto de Galois.${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$del campo de los números racionales${\displaystyle \mathbb {Q} }$.

Dejar${\displaystyle \rho }$ser una representación bidimensional, continua y absolutamente irreducible de${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$sobre un campo finito${\displaystyle F=\mathbb {F} _{\ell ^{r}}}$.

${\displaystyle \rho \colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}(F).}$

Además, supongamos${\displaystyle \rho }$es extraño, lo que significa que la imagen de conjugación compleja tiene determinante -1.

A cualquier forma propia modular normalizada

${\displaystyle f=q+a_{2}q^{2}+a_{3}q^{3}+\cdots }$

de nivel${\displaystyle N=N(\rho )}$, peso${\displaystyle k=k(\rho )}$y algunos personajes tipo Neben

${\displaystyle \chi \colon \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \rightarrow F^{*}}$,

un teorema debido a Shimura, Deligne y Serre-Deligne se adjunta a${\displaystyle f}$una representación

${\displaystyle \rho _{f}\colon G_{\mathbb {Q} }\rightarrow \mathrm {GL} _{2}({\mathcal {O}}),}$

dónde${\displaystyle {\mathcal {O}}}$es el anillo de enteros en una extensión finita de${\displaystyle \mathbb {Q} _{\ell }}$Esta representación se caracteriza por la condición de que para todos los números primos${\displaystyle p}$, coprimo a${\displaystyle N\ell }$tenemos

${\displaystyle \operatorname {Trace} (\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=a_{p}}$

y

${\displaystyle \det(\rho _{f}(\operatorname {Frob} _{p}))=p^{k-1}\chi (p).}$

Reduciendo esta representación módulo el ideal máximo de${\displaystyle {\mathcal {O}}}$le da un mod${\displaystyle \ell }$representación${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}}$de${\displaystyle G_{\mathbb {Q} }}$.

La conjetura de Serre afirma que para cualquier representación${\displaystyle \rho }$Como se mencionó anteriormente, existe una forma propia modular.${\displaystyle f}$de tal manera que

${\displaystyle {\overline {\rho _{f}}}\cong \rho }$.

El nivel y el peso de la forma conjetural${\displaystyle f}$En el artículo de Serre, se plantean explícitamente estas conjeturas. Además, deduce varios resultados a partir de ellas, entre los que destacan el Último Teorema de Fermat y la conjetura de Taniyama-Weil (o Taniyama-Shimura), ahora demostrada y conocida como el teorema de modularidad (aunque esto implica el Último Teorema de Fermat, Serre lo demuestra directamente a partir de su conjetura).

La formulación fuerte de la conjetura de Serre describe el nivel y el peso de la forma modular.

El nivel óptimo es el conductor Artin de la representación, con la potencia de${\displaystyle l}$remoto.

Una demostración de los casos de nivel 1 y peso pequeño de la conjetura fue obtenida en 2004 por Chandrashekhar Khare y Jean-Pierre Wintenberger , ^{[ 3 ]} y por Luis Dieulefait , ^{[ 4 ]} independientemente.

En 2005, Chandrashekhar Khare obtuvo una demostración del caso de nivel 1 de la conjetura de Serre, ^{[ 5 ]} y en 2008 una demostración de la conjetura completa en colaboración con Jean-Pierre Wintenberger. ^{[ 6 ]}

• Serre, Jean-Pierre (1975), "Valeurs propres des opérateurs de Hecke módulo l", Journées Arithmétiques de Bordeaux (Conf., Univ. Bordeaux, 1974), Astérisque , 24– 25: 109– 117, ISSN 0303-1179 , MR 0382173  
• Serre, Jean-Pierre (1987), "Sur les représentations modulaires de degré 2 de Gal( Q /Q)", Duke Mathematical Journal , 54 (1): 179– 230, doi : 10.1215/S0012-7094-87-05413-5 , ISSN 0012-7094 , SEÑOR 0885783  
• Stein, William A.; Ribet, Kenneth A. (2001), "Conferencias sobre las conjeturas de Serre", en Conrad, Brian; Rubin, Karl (eds.), Geometría algebraica aritmética (Park City, UT, 1999) , IAS/Park City Math. Ser., vol.  9, Providence, RI: American Mathematical Society , pp. 143–232 , ISBN  978-0-8218-2173-2, MR 1860042 

• Demostración de Wiles del último teorema de Fermat

• Conjetura de modularidad de Serre. Conferencia de 50 minutos impartida por Ken Ribet el 25 de octubre de 2007 ( diapositivas en PDF, otra versión de las diapositivas en PDF).
• Conferencias sobre las conjeturas de Serre.