Construcción de proyectos

Dejar${\displaystyle S}$sea ​​un anillo graduado conmutativo , donde$${\displaystyle S=\bigoplus _ {i\geq 0}S_ {i}}$$es la descomposición de suma directa asociada con la gradación. El ideal irrelevante de${\displaystyle S}$es el ideal de elementos de grado positivo$${\displaystyle S_{+}=\bigoplus _{i>0}S_{i}.}$$Decimos que un ideal es homogéneo si está generado por elementos homogéneos. Entonces, como conjunto,$${\displaystyle \operatorname {Proj} S=\{P\subseteq S{\text{ ideal primo homogéneo, }}S_{+}\not \subseteq P\}.}$$Para mayor brevedad, a veces escribiremos:${\displaystyle X}$para${\displaystyle \operatorname {Proyecto} S}$.

Podemos definir una topología , llamada topología de Zariski , en${\displaystyle \operatorname {Proyecto} S}$definiendo los conjuntos cerrados como aquellos de la forma

${\displaystyle V(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\subseteq p\},}$

dónde${\displaystyle a}$es un ideal homogéneo de${\displaystyle S}$. Como en el caso de los esquemas afines, se verifica rápidamente que el${\displaystyle V(a)}$formen los conjuntos cerrados de una topología en${\displaystyle X}$.

De hecho, si${\displaystyle (a_{i})_{i\in I}}$son una familia de ideales, entonces tenemos${\textstyle \bigcap V(a_{i})=V\left(\sum a_{i}\right)}$y si el conjunto de índices I es finito, entonces${\textstyle \bigcup V(a_{i})=V\left(\prod a_{i}\right).}$

De forma equivalente, podemos tomar los conjuntos abiertos como punto de partida y definir

${\displaystyle D(a)=\{p\in \operatorname {Proj} S\mid a\not \subseteq p\}.}$

Una abreviatura común es denotar${\displaystyle D(Sf)}$por${\displaystyle D(f)}$, dónde${\displaystyle Sf}$es el ideal generado por${\displaystyle f}$Para cualquier ideal${\displaystyle a}$, los conjuntos${\displaystyle D(a)}$y${\displaystyle V(a)}$son complementarios y, por lo tanto, la misma demostración anterior muestra que los conjuntos${\displaystyle D(a)}$formar una topología en${\displaystyle \operatorname {Proyecto} S}$La ventaja de este enfoque es que los conjuntos${\displaystyle D(f)}$, dónde${\displaystyle f}$abarca todos los elementos homogéneos del anillo.${\displaystyle S}$, forman una base para esta topología, que es una herramienta indispensable para el análisis de${\displaystyle \operatorname {Proyecto} S}$, del mismo modo que el hecho análogo para el espectro de un anillo es igualmente indispensable.

También construimos un haz en${\displaystyle \operatorname {Proyecto} S}$, llamado “haz de estructura” como en el caso afín, lo que lo convierte en un esquema . Como en el caso de la construcción Spec hay muchas maneras de proceder: la más directa, que también sugiere mucho la construcción de funciones regulares en una variedad proyectiva en geometría algebraica clásica, es la siguiente. Para cualquier conjunto abierto${\displaystyle U}$de${\displaystyle \operatorname {Proyecto} S}$(que es por definición un conjunto de ideales primos homogéneos de${\displaystyle S}$no contiene${\displaystyle S_{+}}$) definimos el anillo${\displaystyle O_{X}(U)}$ser el conjunto de todas las funciones

${\displaystyle f\colon U\to \bigcup _{p\in U}S_{(p)}}$

(dónde${\displaystyle S_{(p)}}$denota el subanillo del anillo de fracciones${\displaystyle S_{p}}$que consiste en fracciones de elementos homogéneos del mismo grado) tales que para cada ideal primo${\displaystyle p}$de${\displaystyle U}$:

1. ${\displaystyle f(p)}$es un elemento de${\displaystyle S_{(p)}}$;
2. Existe un subconjunto abierto${\displaystyle V\subsetequ U}$que contiene${\displaystyle p}$y elementos homogéneos${\displaystyle s,t}$de${\displaystyle S}$del mismo grado tal que para cada ideal primo${\displaystyle q}$de${\displaystyle V}$:
   • ${\displaystyle t}$no está en${\displaystyle q}$;
   • ${\displaystyle f(q)=s/t}$

De la definición se deduce inmediatamente que la${\displaystyle O_{X}(U)}$formar un haz de anillos${\displaystyle O_{X}}$en${\displaystyle \operatorname {Proyecto} S}$y se puede demostrar que el par (${\displaystyle \operatorname {Proyecto} S}$,${\displaystyle O_{X}}$) es de hecho un esquema (esto se logra demostrando que cada uno de los subconjuntos abiertos${\displaystyle D(f)}$(de hecho, es un esquema afín).

La propiedad esencial de${\displaystyle S}$para la construcción anterior estaba la capacidad de formar localizaciones${\displaystyle S_{(p)}}$para cada ideal primordial${\displaystyle p}$de${\displaystyle S}$Esta propiedad también la posee cualquier módulo clasificado${\displaystyle M}$encima${\displaystyle S}$y, por lo tanto, con las modificaciones menores apropiadas, la sección anterior construye para cualquier tal${\displaystyle M}$un haz, denotado${\displaystyle {\tilde {M}}}$, de${\displaystyle O_{X}}$-módulos en${\displaystyle \operatorname {Proyecto} S}$. Este haz es cuasi-coherente por construcción. Si${\displaystyle S}$es generado por un número finito de elementos de grado${\displaystyle 1}$(por ejemplo, un anillo de polinomios o un cociente homogéneo del mismo), todos los haces cuasicoherentes en${\displaystyle \operatorname {Proyecto} S}$surgen de módulos graduados mediante esta construcción. ^{[ 1 ]} El módulo graduado correspondiente no es único.

Un caso especial del haz asociado a un módulo graduado es cuando tomamos${\displaystyle M}$ser${\displaystyle S}$en sí mismo con una calificación diferente: es decir, dejamos que el grado${\displaystyle d}$elementos de${\displaystyle M}$ser el grado${\displaystyle (d+1)}$elementos de${\displaystyle S}$, entonces$${\displaystyle M_{d}=S_{d+1}}$$y denotar${\displaystyle M=S(1)}$. Luego obtenemos${\displaystyle {\tilde {M}}}$como un haz cuasi coherente en${\displaystyle \operatorname {Proyecto} S}$, denotado${\displaystyle O_{X}(1)}$o simplemente${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$, llamada haz retorcido de Serre . Se puede comprobar que${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$es de hecho un haz invertible .

Una razón de la utilidad de${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$es que recupera la información algebraica de${\displaystyle S}$que se perdió cuando, en la construcción de${\displaystyle O_{X}}$, pasamos a fracciones de grado cero. En el caso de la especificación A para un anillo A , las secciones globales del haz de estructura forman A mismo, mientras que las secciones globales de${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$aquí forman únicamente los elementos de grado cero de${\displaystyle S}$. Si definimos

${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)=\bigotimes _ {i=1}^{n}{\mathcal {O}}(1)}$

luego cada uno${\displaystyle {\mathcal {O}}(n)}$contiene el grado-${\displaystyle n}$información sobre${\displaystyle S}$, denotado${\displaystyle S_{n}}$y, en conjunto, contienen toda la información de calificación que se perdió. Asimismo, para cualquier fajo de hojas calificadas${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$-módulos${\displaystyle N}$definimos

${\displaystyle N(n)=N\otimes {\mathcal {O}}(n)}$

y espere que este haz “retorcido” contenga información de calificación sobre${\displaystyle N}$. En particular, si${\displaystyle N}$es el haz asociado a un graduado${\displaystyle S}$-módulo${\displaystyle M}$Asimismo, esperamos que contenga información de calificación perdida sobre${\displaystyle M}$Esto sugiere, aunque erróneamente, que${\displaystyle S}$De hecho, se puede reconstruir a partir de estas gavillas; como$${\displaystyle \bigoplus _{n\geq 0}\Gamma (X,{\mathcal {O}}_{X}(n)).}$$Sin embargo, esto es cierto en el caso de que${\displaystyle S}$es un anillo de polinomios, a continuación. Esta situación debe contrastarse con el hecho de que el functor Spec es adjunto al functor de secciones globales en la categoría de espacios localmente anillados .

Si${\displaystyle A}$es un anillo, definimos el n -espacio proyectivo sobre${\displaystyle A}$ser el plan

${\displaystyle \mathbb {P} _{A}^{n}=\operatorname {Proj} A[x_{0},\ldots ,x_{n}].}$

La graduación en el anillo de polinomios${\displaystyle S=A[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$se define dejando cada uno${\displaystyle x_{i}}$tener grado uno y cada elemento de${\displaystyle A}$, grado cero. Comparando esto con la definición de${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$, arriba, vemos que las secciones de${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$son de hecho polinomios homogéneos lineales, generados por el${\displaystyle x_{i}}$ellos mismos. Esto sugiere otra interpretación de${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$, es decir, como el haz de “coordenadas” para${\displaystyle \operatorname {Proyecto} S}$, ya que el${\displaystyle x_{i}}$son literalmente las coordenadas para proyectivas${\displaystyle n}$-espacio.

Si dejamos que el anillo base sea${\displaystyle A=\mathbb {C} [\lambda ]}$, entonces$${\displaystyle X=\operatorname {Proj} \left({\frac {A[X,Y,Z]_{\bullet }}{(ZY^{2}-X(XZ)(X-\lambda Z))_{\bullet }}}\right)}$$tiene un morfismo proyectivo canónico a la línea afín${\displaystyle \mathbb {A} _{\lambda }^{1}}$cuyas fibras son curvas elípticas excepto en los puntos${\displaystyle \lambda =0,1}$donde las curvas degeneran en curvas nodales. Por lo tanto, hay una fibración.$${\displaystyle {\begin{matrix}E_{\lambda }&\longrightarrow &X\\&&\downarrow \\&&\mathbb {A} _{\lambda }^{1}-\{0,1\}\end{matrix}}}$$que también es un morfismo suave de esquemas (lo cual se puede comprobar utilizando el criterio jacobiano ).

La hipersuperficie proyectiva${\displaystyle \operatorname {Proj} \left(\mathbb {C} [X_{0},\ldots ,X_{4}]/(X_{0}^{5}+\cdots +X_{4}^{5})\right)}$es un ejemplo de una variedad quíntica de Fermat que también es una variedad de Calabi-Yau . Además de las hipersuperficies proyectivas, cualquier variedad proyectiva recortada por un sistema de polinomios homogéneos$${\displaystyle f_{1}=0,\ldots ,f_{k}=0}$$en${\displaystyle (n+1)}$Las variables se pueden convertir en un esquema proyectivo utilizando la construcción proj para el álgebra graduada.$${\displaystyle {\frac {k[X_{0},\ldots ,X_{n}]_{\bullet }}{(f_{1},\ldots ,f_{k})_{\bullet }}}}$$proporcionando una incrustación de variedades proyectivas en esquemas proyectivos.

Los espacios proyectivos ponderados se pueden construir utilizando un anillo de polinomios cuyas variables tienen grados no estándar. Por ejemplo, el espacio proyectivo ponderado${\displaystyle \mathbb {P} (1,1,2)}$corresponde a tomar${\displaystyle \operatorname {Proj} }$del anillo${\displaystyle A[X_{0},X_{1},X_{2}]}$dónde${\displaystyle X_{0},X_{1}}$tener peso${\displaystyle 1}$mientras${\displaystyle X_{2}}$tiene un peso de 2.

La construcción proj se extiende a anillos bigradados y multigradados. Geométricamente, esto corresponde a tomar productos de esquemas proyectivos. Por ejemplo, dados los anillos graduados$${\displaystyle A_{\bullet }=\mathbb {C} [X_{0},X_{1}],{\text{ }}B_{\bullet }=\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1}]}$$con el grado de cada generador${\displaystyle 1}$. Luego, el producto tensorial de estas álgebras sobre${\displaystyle \mathbb {C} }$da el álgebra bigradada$${\displaystyle {\begin{aligned}A_{\bullet }\otimes _{\mathbb {C} }B_{\bullet }&=S_{\bullet ,\bullet }\\&=\mathbb {C} [X_{0},X_{1},Y_{0},Y_{1}]\end{aligned}}}$$donde el${\displaystyle X_{i}}$tener peso${\displaystyle (1,0)}$y el${\displaystyle Y_{i}}$tener peso${\displaystyle (0,1)}$. Entonces la construcción proj da$${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })=\mathbb {P} ^{1}\times _{{\text{Spec}}(\mathbb {C} )}\mathbb {P} ^{1}}$$que es un producto de esquemas proyectivos. Hay una incrustación de tales esquemas en el espacio proyectivo tomando el álgebra graduada total.$${\displaystyle S_{\bullet ,\bullet }\to S_{\bullet }}$$donde un título${\displaystyle (a,b)}$El elemento se considera como un grado.${\displaystyle (a+b)}$elemento. Esto significa el${\displaystyle k}$-pieza calificada de${\displaystyle S_{\bullet }}$es el módulo$${\displaystyle S_{k}=\bigoplus _{a+b=k}S_{a,b}}$$Además, el plan${\displaystyle {\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })}$ahora viene con poleas bigradadas${\displaystyle {\mathcal {O}}(a,b)}$que son el producto tensorial de los haces${\displaystyle \pi _{1}^{*}{\mathcal {O}}(a)\otimes \pi _{2}^{*}{\mathcal {O}}(b)}$dónde$${\displaystyle \pi _{1}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(A_{\bullet })}$$y$${\displaystyle \pi _{2}:{\text{Proj}}(S_{\bullet ,\bullet })\to {\text{Proj}}(B_{\bullet })}$$son las proyecciones canónicas que provienen de las inyecciones de estas álgebras del diagrama de producto tensorial de álgebras conmutativas.

Formalmente, sea X cualquier esquema y S un haz de esquemas graduados.${\displaystyle O_{X}}$-álgebras (cuya definición es similar a la definición de${\displaystyle O_{X}}$-módulos en un espacio localmente anillado ): es decir, un haz con una descomposición en suma directa

${\displaystyle S=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}}$

donde cada${\displaystyle S_{i}}$es un${\displaystyle O_{X}}$-módulo tal que para cada subconjunto abierto U de X , S ( U ) es un${\displaystyle O_{X}(U)}$-álgebra y la descomposición de suma directa resultante

${\displaystyle S(U)=\bigoplus _{i\geq 0}S_{i}(U)}$

es una graduación de esta álgebra como un anillo. Aquí asumimos que${\displaystyle S_{0}=O_{X}}$. Hacemos la suposición adicional de que S es un haz cuasi-coherente ; esta es una suposición de “consistencia” sobre las secciones sobre diferentes conjuntos abiertos que es necesaria para que la construcción pueda proceder.

En esta configuración podemos construir un esquema${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$y una aplicación de “proyección” p sobre X tal que para cada afín abierta U de X ,

${\displaystyle (\operatorname {\mathbf {Proj} } S)|_{p^{-1}(U)}=\operatorname {Proj} (S(U)).}$

Esta definición sugiere que construimos${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$definiendo primero los esquemas${\displaystyle Y_{U}}$para cada afín abierto U , estableciendo

${\displaystyle Y_{U}=\operatorname {Proj} S(U),}$

y mapas${\displaystyle p_{U}\colon Y_{U}\to U}$y luego demostrando que estos datos pueden pegarse “sobre” cada intersección de dos afines abiertos U y V para formar un esquema Y que definimos como${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$No es difícil demostrar que definir cada${\displaystyle p_{U}}$ser el mapa correspondiente a la inclusión de${\displaystyle O_{X}(U)}$en S ( U ) como los elementos de grado cero produce la consistencia necesaria de la${\displaystyle p_{U}}$, mientras que la consistencia de la${\displaystyle Y_{U}}$ellos mismos se derivan de la suposición de cuasi-coherencia en S.

Si S tiene la propiedad adicional de que${\displaystyle S_{1}}$es un haz coherente y genera localmente S sobre${\displaystyle S_{0}}$(es decir, cuando pasamos al tallo del haz S en un punto x de X , que es un álgebra graduada cuyos elementos de grado cero forman el anillo${\displaystyle O_{X,x}}$entonces los elementos de grado uno forman un módulo finitamente generado sobre${\displaystyle O_{X,x}}$y también generar el tallo como un álgebra sobre él) entonces podemos hacer una construcción adicional. Sobre cada afín abierto U , Proj S ( U ) lleva un haz invertible O(1) , y la suposición que acabamos de hacer asegura que estos haces se pueden pegar como el${\displaystyle Y_{U}}$arriba; el haz resultante en${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$También se denota como O (1) y cumple prácticamente el mismo propósito para${\displaystyle \operatorname {\mathbf {Proj} } S}$como lo hace el haz retorcido en el Proyecto de un anillo.

Dejar${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ser un haz cuasi coherente en un esquema${\displaystyle X}$. El haz de álgebras simétricas${\displaystyle \mathbf {Sym} _{O_{X}}({\mathcal {E}})}$es naturalmente un haz cuasi coherente de graduados${\displaystyle O_{X}}$-módulos, generados por elementos de grado 1. El esquema resultante se denota por${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$. Si${\displaystyle {\mathcal {E}}}$es de tipo finito, entonces su morfismo canónico${\displaystyle p:\mathbb {P} ({\mathcal {E}})\to X}$es un morfismo proyectivo . ^{[ 2 ]}

Para cualquier${\displaystyle x\in X}$, la fibra del morfismo anterior sobre${\displaystyle x}$es el espacio proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}}(x))}$asociado al dual del espacio vectorial${\displaystyle {\mathcal {E}}(x):={\mathcal {E}}\otimes _{O_{X}}k(x)}$encima${\displaystyle k(x)}$.

Si${\displaystyle {\mathcal {S}}}$es un haz cuasi coherente de graduado${\displaystyle O_{X}}$-módulos, generados por${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$y tal que${\displaystyle {\mathcal {S}}_{1}}$es de tipo finito, entonces${\displaystyle \mathbf {Proj} {\mathcal {S}}}$es un subesquema cerrado de${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {S}}_{1})}$y luego es proyectivo sobre${\displaystyle X}$. De hecho, cada subesquema cerrado de un proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$es de esta forma. ^{[ 3 ]}

Como caso especial, cuando${\displaystyle {\mathcal {E}}}$está libre de rango localmente${\displaystyle n+1}$obtenemos un paquete proyectivo${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$encima${\displaystyle X}$de dimensión relativa${\displaystyle n}$. En efecto, si tomamos una cubierta abierta de X por afines abiertos${\displaystyle U=\operatorname {Spec} (A)}$de tal manera que cuando se restringe a cada uno de estos,${\displaystyle {\mathcal {E}}}$es libre sobre A , entonces

${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})|_{p^{-1}(U)}\simeq \operatorname {Proj} A[x_{0},\dots ,x_{n}]=\mathbb {P} _{A}^{n}=\mathbb {P} _{U}^{n},}$

y por lo tanto${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$es un fibrado espacial proyectivo. Muchas familias de variedades pueden construirse como subesquemas de estos fibrados proyectivos, como la familia de curvas elípticas de Weierstrass. Para más detalles, consulte el artículo principal.