Complemento (teoría de conjuntos)

Si A es un conjunto, entonces el complemento absoluto de A (o simplemente el complemento de A ) es el conjunto de elementos que no están en A (dentro de un conjunto mayor que está implícitamente definido). En otras palabras, sea U un conjunto que contiene todos los elementos en estudio; si no es necesario mencionar U , ya sea porque se ha especificado previamente o porque es obvio y único, entonces el complemento absoluto de A es el complemento relativo de A en U : ^{[ 3 ] [ a ]}$${\displaystyle A^{c}=U\setminus A=\{x\in U:x\notin A\}.}$$

El complemento absoluto de A se suele denotar por${\displaystyle A^{c}}$. ^{[ 3 ]} Otras notaciones incluyen${\displaystyle {\overline {A}}}$, ^{[ 4 ]}${\displaystyle A',}$^{[ 2 ]}${\displaystyle \complement _{U}A,{\text{ y }}\complement A.}$^{[ 5 ]}

• Supongamos que el universo es el conjunto de los números enteros . Si A es el conjunto de los números impares, entonces el complemento de A es el conjunto de los números pares. Si B es el conjunto de los múltiplos de 3, entonces el complemento de B es el conjunto de los números congruentes con 1 o 2 módulo 3 (o, en términos más sencillos, los enteros que no son múltiplos de 3).
• Assume that the universe is the standard 52-card deck. If the set A is the suit of spades, then the complement of A is the union of the suits of clubs, diamonds, and hearts. If the set B is the union of the suits of clubs and diamonds, then the complement of B is the union of the suits of hearts and spades.
• When the universe is the universe of sets described in formalized set theory, the absolute complement of a set is generally not itself a set, but rather a proper class. For more info, see universal set.

Let A and B be two sets in a universe U. The following identities capture important properties of absolute complements:

De Morgan's laws:^[3]

• ${\displaystyle \left(A\cup B\right)^{c}=A^{c}\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle \left(A\cap B\right)^{c}=A^{c}\cup B^{c}.}$

Complement laws:^[3]

• ${\displaystyle A\cup A^{c}=U.}$
• ${\displaystyle A\cap A^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset ^{c}=U.}$
• ${\displaystyle U^{c}=\emptyset .}$
• ${\displaystyle {\text{Si }}A\subseteq B{\text{, entonces }}B^{c}\subseteq A^{c}.}$

  (this follows from the equivalence of a conditional with its contrapositive).

Involution or double complement law:

• ${\displaystyle \left(A^{c}\right)^{c}=A.}$

Relationships between relative and absolute complements:

• ${\displaystyle A\setminus B=A\cap B^{c}.}$
• ${\displaystyle (A\setminus B)^{c}=A^{c}\cup B=A^{c}\cup (B\cap A).}$

Relationship with a set difference:

• ${\displaystyle A^{c}\setminus B^{c}=B\setminus A.}$

The first two complement laws above show that if A is a non-empty, proper subset of U, then {A, A^∁} is a partition of U.

If A and B are sets, then the relative complement of A in B,^[3] also termed the set difference of B and A,^[6] is the set of elements in B but not in A.

The relative complement of A in B is denoted ${\displaystyle B\setminus A}$ according to the ISO 31-11 standard. It is sometimes written ${\displaystyle BA,}$ but this notation can be ambiguous, as in some contexts (for example, Minkowski set operations in functional analysis) it can be interpreted as the set of all elements ${\displaystyle ba,}$ where b is taken from B and a from A.

Formally: $${\displaystyle B\setminus A=\{x\in B:x\notin A\}.}$$

• ${\displaystyle \{1,2,3\}\setminus \{2,3,4\}=\{1\}.}$
• ${\displaystyle \{2,3,4\}\setminus \{1,2,3\}=\{4\}.}$
• If ${\displaystyle \mathbb {R} }$ is the set of real numbers and ${\displaystyle \mathbb {Q} }$es el conjunto de los números racionales , entonces${\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }$es el conjunto de los números irracionales .

Sean A , B y C tres conjuntos en un universo U. Las siguientes identidades capturan propiedades notables de los complementos relativos:

• ${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B).}$
• ${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(C\cap A)\cup (C\setminus B),}$

  con el importante caso especial${\displaystyle C\setminus (C\setminus A)=(C\cap A)}$demostrando que la intersección puede expresarse utilizando únicamente la operación de complemento relativo.

• ${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A).}$
• ${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C).}$
• ${\displaystyle A\setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle \emptyset \setminus A=\emptyset .}$
• ${\displaystyle A\setminus \emptyset =A.}$
• ${\displaystyle A\setminus U=\emptyset .}$
• Si${\displaystyle A\subset B}$, entonces${\displaystyle C\setminus A\supset C\setminus B}$.
• ${\displaystyle A\supseteq B\setminus C}$es equivalente a${\displaystyle C\supseteq B\setminus A}$.