Unión (teoría de conjuntos)

En la teoría de conjuntos , la unión (denotada por ∪) de una colección de conjuntos es el conjunto de todos los elementos de la colección. ^[1] Es una de las operaciones fundamentales a través de las cuales los conjuntos pueden combinarse y relacionarse entre sí.La unión nularia se refiere a una unión decero ( ⁠ ⁠${\estilo de visualización 0}$ )y es por definición igual alconjunto vacío.

Para obtener una explicación de los símbolos utilizados en este artículo, consulte la tabla de símbolos matemáticos .

La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto de elementos que están en A , en B o en ambos A y B . ^[2] En la notación de constructor de conjuntos ,

${\displaystyle A\cup B=\{x:x\en A{\text{ o }}x\en B\}}$. ^[3]

Por ejemplo, si A = {1, 3, 5, 7} y B = {1, 2, 4, 6, 7} entonces A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Un ejemplo más elaborado (que involucra dos conjuntos infinitos) es:

A = { x es un entero par mayor que 1}

B = { x es un entero impar mayor que 1}

${\displaystyle A\cup B=\{2,3,4,5,6,\puntos \}}$

Como otro ejemplo, el número 9 no está contenido en la unión del conjunto de números primos {2, 3, 5, 7, 11, ...} y el conjunto de números pares {2, 4, 6, 8, 10, ...}, porque 9 no es primo ni par.

Los conjuntos no pueden tener elementos duplicados, ^{[3] [4]} por lo que la unión de los conjuntos {1, 2, 3} y {2, 3, 4} es {1, 2, 3, 4}. La aparición múltiple de elementos idénticos no tiene efecto sobre la cardinalidad de un conjunto o su contenido.

La unión binaria es una operación asociativa ; es decir, para cualesquiera conjuntos ⁠ ⁠${\displaystyle A,B,{\text{ y }}C}$ , Por lo tanto, los paréntesis pueden omitirse sin ambigüedad: cualquiera de las anteriores puede escribirse como ⁠ ⁠ . Además, la unión es conmutativa , por lo que los conjuntos pueden escribirse en cualquier orden. ^[5] El conjunto vacío es un elemento identidad para la operación de unión. Es decir, ⁠ ⁠ , para cualquier conjunto ⁠ ⁠ . Además, la operación de unión es idempotente: ⁠ ⁠ . Todas estas propiedades se derivan de hechos análogos sobre la disyunción lógica . $${\displaystyle A\taza (B\taza C)=(A\taza B)\taza C.}$$${\displaystyle A\taza B\taza C}$${\displaystyle A\cup \varnothing =A}$${\estilo de visualización A}$${\displaystyle A\cup A=A}$

La intersección se distribuye sobre la unión y la unión se distribuye sobre la intersección ^[2] El conjunto potencia de un conjunto ⁠ ⁠ , junto con las operaciones dadas por unión, intersección y complementación , es un álgebra de Boole . En esta álgebra de Boole, la unión se puede expresar en términos de intersección y complementación mediante la fórmula donde el superíndice denota el complemento en el conjunto universal ⁠ ⁠ . Alternativamente, la intersección se puede expresar en términos de unión y complementación de una manera similar: . Estas dos expresiones juntas se denominan leyes de De Morgan . ^{[6] [7] [8]}$${\displaystyle A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)}$$ $${\displaystyle A\taza (B\cap C)=(A\taza B)\cap (A\taza C).}$$${\estilo de visualización U}$$${\displaystyle A\cup B=(A^{\complemento }\cap B^{\complemento })^{\complemento },}$$${\displaystyle {}^{\complemento }}$ ${\estilo de visualización U}$${\displaystyle A\cap B=(A^{\complemento }\cup B^{\complemento })^{\complemento }}$

Se puede tomar la unión de varios conjuntos simultáneamente. Por ejemplo, la unión de tres conjuntos A , B y C contiene todos los elementos de A , todos los elementos de B y todos los elementos de C y nada más. Por lo tanto, x es un elemento de A ∪ B ∪ C si y solo si x está en al menos uno de A , B y C .

Una unión finita es la unión de un número finito de conjuntos; la frase no implica que el conjunto de unión sea un conjunto finito . ^{[9] [10]}

La noción más general es la unión de una colección arbitraria de conjuntos, a veces llamada unión infinitaria . Si M es un conjunto o clase cuyos elementos son conjuntos, entonces x es un elemento de la unión de M si y solo si hay al menos un elemento A de M tal que x es un elemento de A. ^[11] En símbolos:

${\displaystyle x\in \bigcup \mathbf {M} \iff \existe A\in \mathbf {M} ,\ x\in A.}$

Esta idea incluye las secciones anteriores: por ejemplo, A ∪ B ∪ C es la unión del conjunto { A , B , C }. Además, si M es el conjunto vacío, entonces la unión de M es el conjunto vacío.

La notación para el concepto general puede variar considerablemente. Para una unión finita de conjuntos, a menudo se escribe o . Varias notaciones comunes para uniones arbitrarias incluyen , , y . La última de estas notaciones se refiere a la unión de la colección , donde I es un conjunto índice y es un conjunto para cada ⁠ ⁠ . En el caso de que el conjunto índice I sea el conjunto de números naturales , se utiliza la notación , que es análoga a la de las sumas infinitas en serie. ^[11]${\displaystyle S_{1},S_{2},S_{3},\puntos ,S_{n}}$${\displaystyle S_{1}\cup S_{2}\cup S_{3}\cup \puntos \cup S_{n}}$${\textstyle \bigcup _{i=1}^{n}S_{i}}$${\textstyle \bigcup \mathbf {M} }$${\textstyle \bigcup _{A\in \mathbf {M} }A}$${\textstyle \bigcup _{i\in I}A_{i}}$${\displaystyle \left\{A_{i}:i\in I\right\}}$$Estilo de visualización A_{i}}$${\displaystyle i\en I}$${\textstyle \bigcup _{i=1}^{\infty }A_ {i}}$

Cuando el símbolo "∪" se coloca antes de otros símbolos (en lugar de entre ellos), generalmente se representa en un tamaño más grande.

En Unicode , la unión se representa mediante el carácter U+222A ∪ UNION . ^[12] En TeX , se representa desde y se representa desde . ${\displaystyle \taza}$\cup${\textstyle\bigcup}$\bigcup

• Álgebra de conjuntos  – Identidades y relaciones que involucran conjuntos
• Alternancia (teoría del lenguaje formal)  : en la teoría del lenguaje formal y la coincidencia de patrones, la unión de dos conjuntos de cadenas o patrones Páginas que muestran descripciones de wikidata como alternativa− la unión de conjuntos de cadenas
• Axioma de unión  : concepto en la teoría de conjuntos axiomáticos
• Unión disjunta  – En matemáticas, operación sobre conjuntos
• Principio de inclusión-exclusión  – Técnica de conteo en combinatoria
• Intersección (teoría de conjuntos)  : Conjunto de elementos comunes a todos algunos conjuntos.
• Operación binaria iterada  : aplicación repetida de una operación a una secuencia
• Lista de identidades y relaciones de conjuntos  – Igualdades para combinaciones de conjuntos
• Teoría de conjuntos ingenua  – Teorías de conjuntos informales
• Diferencia simétrica  : elementos en exactamente uno de dos conjuntos

• "Unión de conjuntos", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Unión e intersección infinitas en ProvenMath Las leyes de De Morgan demostradas formalmente a partir de los axiomas de la teoría de conjuntos.