Germen (matemáticas)

En matemáticas , la noción de germen de un objeto en un espacio topológico es una clase de equivalencia de ese objeto con otros del mismo tipo que captura sus propiedades locales compartidas. En particular, los objetos en cuestión son principalmente funciones (o aplicaciones ) y subconjuntos . En implementaciones específicas de esta idea, las funciones o subconjuntos en cuestión tendrán alguna propiedad, como ser analíticos o suaves , pero en general esto no es necesario (las funciones en cuestión ni siquiera tienen que ser continuas ); sin embargo, es necesario que el espacio en el que se define el objeto sea un espacio topológico, para que el término " local" tenga algún significado.

El nombre deriva de germen de cereal, en una continuación de la metáfora de la gavilla , ya que un germen es (localmente) el "corazón" de una función, como lo es para un grano.

La idea de los gérmenes está detrás de la definición de gavillas y pregavillas. Una pregavilla${\displaystyle {\mathcal {F}}}$de grupos abelianos en un espacio topológico X asigna un grupo abeliano${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$a cada conjunto abierto U en X. Ejemplos típicos de grupos abelianos aquí son: funciones de valor real en U , formas diferenciales en U , campos vectoriales en U , funciones holomorfas en U (cuando X es una variedad compleja ), funciones constantes en U y operadores diferenciales en U.

Si${\displaystyle V\subsetequ U}$Luego hay un mapa de restricciones${\displaystyle \mathrm {res} _{VU}:{\mathcal {F}}(U)\to {\mathcal {F}}(V),}$que satisfacen ciertas condiciones de compatibilidad . Para un x fijo , se dice que los elementos${\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(U)}$y${\displaystyle g\in {\mathcal {F}}(V)}$son equivalentes en x si hay un vecindario${\displaystyle W\subseteq U\cap V}$de x con res _WU ( f ) = res _WV ( g ) (ambos elementos de${\displaystyle {\mathcal {F}}(W)}$). Las clases de equivalencia forman el tallo${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$en x de la prefaja${\displaystyle {\mathcal {F}}}$Esta relación de equivalencia es una abstracción de la equivalencia de gérmenes descrita anteriormente.

La interpretación de los gérmenes mediante haces también proporciona una explicación general de la presencia de estructuras algebraicas en conjuntos de gérmenes. La razón es que la formación de tallos preserva los límites finitos . Esto implica que si T es una teoría de Lawvere y un haz F es un álgebra T , entonces cualquier tallo F _x también es un álgebra T.

Si${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$Si tienen una estructura adicional, es posible definir subconjuntos del conjunto de todos los mapas de X a Y o, más generalmente, subprehaces de un prehaz dado.${\displaystyle {\mathcal {F}}}$y los gérmenes correspondientes: a continuación se presentan algunos ejemplos notables .

• Si${\displaystyle X,Y}$son ambos espacios topológicos , el subconjunto

${\displaystyle C^{0}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

de funciones continuas define los gérmenes de las funciones continuas .

• Si ambos${\displaystyle X}$y${\displaystyle Y}$admiten una estructura diferenciable , el subconjunto

${\displaystyle C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

de${\displaystyle k}$-veces funciones continuamente diferenciables , el subconjunto

${\displaystyle C^{\infty }(X,Y)=\bigcap \nolimits _{k}C^{k}(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

de funciones suaves y el subconjunto

${\displaystyle C^{\omega }(X,Y)\subseteq {\mbox{Hom}}(X,Y)}$

Se pueden definir funciones analíticas (${\displaystyle \omega }$aquí está el ordinal para infinito; esto es un abuso de notación , por analogía con${\displaystyle C^{k}}$y${\displaystyle C^{\infty }}$), y entonces se pueden construir espacios de gérmenes de funciones analíticas suaves , diferenciables ( finitamente) .

• Si${\displaystyle X,Y}$tienen una estructura compleja (por ejemplo, son subconjuntos de espacios vectoriales complejos ), se pueden definir funciones holomorfas entre ellos y, por lo tanto, se pueden construir espacios de gérmenes de funciones holomorfas .
• Si${\displaystyle X,Y}$Si tienen una estructura algebraica , entonces se pueden definir funciones regulares (y racionales ) entre ellas, y se pueden definir gérmenes de funciones regulares (y de igual manera racionales ).
• El germen de${\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow Y}$en el infinito positivo (o simplemente el germen de f ) es${\displaystyle \{g:\exists x\forall y>x\,f(y)=g(y)\}}$Estos gérmenes se utilizan en el análisis asintótico y en los campos de Hardy .

La clave en las aplicaciones de los gérmenes reside en la localidad : todas las propiedades locales de una función en un punto pueden estudiarse analizando su germen . Son una generalización de las series de Taylor , y de hecho, la serie de Taylor de un germen (de una función diferenciable) está definida: solo se necesita información local para calcular derivadas.

Los gérmenes son útiles para determinar las propiedades de los sistemas dinámicos cerca de puntos elegidos de su espacio de fases : son una de las principales herramientas en la teoría de singularidades y la teoría de catástrofes .

Cuando los espacios topológicos considerados son superficies de Riemann o, más generalmente , variedades analíticas complejas , los gérmenes de funciones holomorfas sobre ellos pueden verse como series de potencias , y por lo tanto el conjunto de gérmenes puede considerarse como la continuación analítica de una función analítica .

Los gérmenes también pueden utilizarse en la definición de vectores tangentes en geometría diferencial . Un vector tangente puede considerarse como una derivación puntual en el álgebra de gérmenes en ese punto. ^{[ 1 ]}

Como se mencionó anteriormente, los conjuntos de gérmenes pueden tener estructuras algebraicas, como por ejemplo, anillos. En muchos casos, los anillos de gérmenes no son anillos arbitrarios, sino que poseen propiedades muy específicas.

Supongamos que X es un espacio de algún tipo. A menudo, en cada x ∈ X , el anillo de gérmenes de funciones en x es un anillo local . Este es el caso, por ejemplo, para funciones continuas en un espacio topológico; para funciones diferenciables, suaves o analíticas k veces en una variedad real (cuando tales funciones están definidas); para funciones holomorfas en una variedad compleja ; y para funciones regulares en una variedad algebraica. La propiedad de que los anillos de gérmenes sean anillos locales está axiomatizada por la teoría de espacios localmente anillados .

Sin embargo, los tipos de anillos locales que surgen dependen estrechamente de la teoría que se esté considerando. El teorema de preparación de Weierstrass implica que los anillos de gérmenes de funciones holomorfas son anillos noetherianos . También se puede demostrar que estos son anillos regulares . Por otro lado, sea${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{\infty }(\mathbf {R} )}$Sea R el anillo de gérmenes en el origen de funciones suaves en R. Este anillo es local pero no noetheriano. Para ver por qué, observemos que el ideal máximo m de este anillo consiste en todos los gérmenes que se anulan en el origen, y la potencia m ^k consiste en aquellos gérmenes cuyas primeras k − 1 derivadas se anulan. Si este anillo fuera noetheriano, entonces el teorema de intersección de Krull implicaría que una función suave cuya serie de Taylor se anulara sería la función cero. Pero esto es falso, como se puede ver al considerar

${\displaystyle f(x)={\begin{cases}e^{-1/x^{2}},&x\neq 0,\\0,&x=0.\end{cases}}}$

Este anillo tampoco es un dominio de factorización única . Esto se debe a que todos los UFD satisfacen la condición de cadena ascendente en los ideales principales , pero existe una cadena ascendente infinita de ideales principales.

${\displaystyle \cdots \subsetneq (x^{-j+1}f(x))\subsetneq (x^{-j}f(x))\subsetneq (x^{-j-1}f(x))\subsetneq \cdots .}$

Las inclusiones son estrictas porque x está en el ideal maximal m .

El anillo${\displaystyle {\mathcal {C}}_{0}^{0}(\mathbf {R} )}$de gérmenes en el origen de funciones continuas en R incluso tiene la propiedad de que su ideal maximal m satisface m ² = m . Cualquier germen f ∈ m puede escribirse como

${\displaystyle f=|f|^{1/2}\cdot {\big (}\operatorname {sgn} (f)|f|^{1/2}{\big )},}$

donde sgn es la función signo. Dado que | f | se anula en el origen, esto expresa f como el producto de dos funciones en m , de donde se deduce la conclusión. Esto está relacionado con la configuración de la teoría de casi anillos .

• Variedad analítica
• Teoría de la catástrofe
• axioma de pegado
• superficie de Riemann
• Gavilla
• Acechar

• Nicolás Bourbaki (1989). Topología general. Capítulos 1-4 (  edición de bolsillo). Springer-Verlag . ISBN 3-540-64241-2., capítulo I, párrafo 6, subpárrafo 10 " Gérmenes en un punto ".
• Raghavan Narasimhan (1973). Análisis en variedades reales y complejas (2.ª  ed.). North-Holland Elsevier. ISBN 0-7204-2501-8., capítulo 2, párrafo 2.1, " Definiciones básicas ".
• Robert C. Gunning y Hugo Rossi (1965). Funciones analíticas de varias variables complejas . Prentice-Hall ., capítulo 2 " Anillos locales de funciones holomorfas ", especialmente el párrafo A " Las propiedades elementales de los anillos locales " y el párrafo E " Gérmenes de variedades ".
• Ian R. Porteous (2001) Diferenciación geométrica , página 71, Cambridge University Press ISBN 0-521-00264-8.
• Giuseppe Tallini (1973). Varietà diferenziabili e coomologia di De Rham (Variedades diferenciables y cohomología de De Rham) . Ediciones Cremonese. ISBN 88-7083-413-1., párrafo 31, " Germi di funzioni diferenziabili in un punto${\displaystyle P}$di${\displaystyle V_{n}}$(Gérmenes de funciones diferenciables en un punto${\displaystyle P}$de${\displaystyle V_{n}}$) " (en italiano).

• Chirka, Evgeniǐ Mikhaǐlovich (2001) [1994], "Germ" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Germen de funciones suaves en PlanetMath .
• Mozyrska, Dorota; Bartosiewicz, Zbigniew (2006). "Sistemas de gérmenes y teoremas de ceros en espacios de dimensión infinita". arXiv : math/0612355 .Un preimpreso de investigación que trata sobre los gérmenes de las variedades analíticas en un entorno de dimensión infinita.