Conjunto de singularidad

En matemáticas , un conjunto de unicidad es un concepto relevante para las expansiones trigonométricas que no son necesariamente series de Fourier . Su estudio es una rama relativamente pura del análisis armónico .

Un subconjunto E del círculo se denomina conjunto de unicidad , o U -conjunto , si cualquier expansión trigonométrica

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }c(n)e^{int}}$

que converge a cero para${\displaystyle t\notin E}$es idénticamente cero; es decir, tal que

c ( n ) = 0 para todo n .

De lo contrario, E es un conjunto de multiplicidad (a veces llamado conjunto M o conjunto de Menshov ). Definiciones análogas se aplican en la recta real y en dimensiones superiores. En este último caso, es necesario especificar el orden de la suma, por ejemplo, "un conjunto de unicidad con respecto a la suma sobre bolas".

Para comprender la importancia de la definición, es importante salir de la mentalidad de Fourier . En el análisis de Fourier no hay cuestión de unicidad, ya que los coeficientes c ( n ) se derivan integrando la función. Por lo tanto, en el análisis de Fourier el orden de las acciones es

• Comience con una función f .
• Calcular los coeficientes de Fourier utilizando

${\displaystyle c(n)=\int _{0}^{2\pi }f(t)e^{-int}\,dt}$

• Pregunta: ¿la suma converge a f ? ¿En qué sentido?

En la teoría de la unicidad, el orden es diferente:

• Comencemos con algunos coeficientes c ( n ) para los cuales la suma converge en algún sentido.
• Pregunta: ¿significa esto que son los coeficientes de Fourier de la función?

En efecto, suele ser suficientemente interesante (como en la definición anterior) suponer que la suma converge a cero y preguntarse si eso implica que todos los c ( n ) deben ser cero. Como es habitual en análisis , las preguntas más interesantes surgen al hablar de convergencia puntual . De ahí la definición anterior, que surgió cuando quedó claro que ni la convergencia en todas partes ni la convergencia casi en todas partes ofrecen una respuesta satisfactoria.

El conjunto vacío es un conjunto de unicidad. Esto significa simplemente que si una serie trigonométrica converge a cero en todos los puntos , entonces es trivial. Riemann lo demostró utilizando una delicada técnica de doble integración formal y mostrando que la suma resultante tiene una segunda derivada generalizada mediante operadores de Toeplitz . Posteriormente, Georg Cantor generalizó las técnicas de Riemann para demostrar que cualquier conjunto cerrado numerable es un conjunto de unicidad, un descubrimiento que lo llevó al desarrollo de la teoría de conjuntos . Paul Cohen , otro innovador en teoría de conjuntos, comenzó su carrera con una tesis sobre conjuntos de unicidad.

A medida que se desarrollaba la teoría de la integración de Lebesgue , se asumía que cualquier conjunto de medida cero sería un conjunto único ; en una dimensión, el principio de localidad para las series de Fourier demuestra que cualquier conjunto de medida positiva es un conjunto multiplicitario (en dimensiones superiores, esto sigue siendo una cuestión abierta). Esto fue refutado por Dimitri E. Menshov , quien en 1916 construyó un ejemplo de un conjunto multiplicitario con medida cero.

Una traslación y dilatación de un conjunto de unicidad es un conjunto de unicidad. La unión de una familia numerable de conjuntos cerrados de unicidad es un conjunto de unicidad. Existe un ejemplo de dos conjuntos de unicidad cuya unión no es un conjunto de unicidad, pero los conjuntos en este ejemplo no son de Borel . Es un problema abierto determinar si la unión de dos conjuntos de unicidad cualesquiera de Borel es un conjunto de unicidad.

Un conjunto cerrado es un conjunto de unicidad si y solo si existe una distribución S soportada en el conjunto (por lo que en particular debe ser singular) tal que

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\widehat {S}}(n)=0}$

(${\displaystyle {\hat {S}}(n)}$(Aquí están los coeficientes de Fourier). En todos los primeros ejemplos de conjuntos de unicidad, la distribución en cuestión era, de hecho, una medida. Sin embargo, en 1954, Ilya Piatetski-Shapiro construyó un ejemplo de un conjunto de unicidad que no admite ninguna medida con coeficientes de Fourier que tiendan a cero. En otras palabras, es necesaria la generalización de la distribución.

La primera evidencia de que los conjuntos de unicidad tienen una estructura compleja provino del estudio de los conjuntos tipo Cantor . Raphaël Salem y Zygmund demostraron que un conjunto tipo Cantor con razón de disección ξ es un conjunto de unicidad si y solo si 1/ξ es un número de Pisot , es decir, un entero algebraico con la propiedad de que todos sus conjugados (si los hay) son menores que 1. Esta fue la primera demostración de que la propiedad de ser un conjunto de unicidad tiene que ver con propiedades aritméticas y no solo con algún concepto de tamaño ( Nina Bari había demostrado el caso de ξ racional —el conjunto tipo Cantor es un conjunto de unicidad si y solo si 1/ξ es un entero— unos años antes).

Desde la década de 1950 , se ha dedicado mucho esfuerzo a formalizar esta complejidad. La familia de conjuntos de unicidad, considerada como un conjunto dentro del espacio de conjuntos compactos (véase la distancia de Hausdorff ), se ubicó dentro de la jerarquía analítica . Un papel crucial en esta investigación lo desempeña el índice del conjunto, que es un ordinal entre 1 y ω₁ _, definido por primera vez por Pyatetskii-Shapiro. Hoy en día, la investigación de conjuntos de unicidad es tanto una rama de la teoría descriptiva de conjuntos como del análisis armónico.

• Paul J. Cohen (1958), Temas en la teoría de la unicidad de las series trigonométricas
• Alexander S. Kechris y Alain Louveau (1987), Teoría descriptiva de conjuntos y la estructura de conjuntos de unicidad (Serie de conferencias de la Sociedad Matemática de Londres n.º 128), Cambridge University Press. ISBN 0-521-35811-6.
• Jean-Pierre Kahane y Raphaël Salem (1994), Ensembles parfaits et séries trigonométriques , Hermann, París. ISBN 2-7056-6193-X(en francés).