Álgebra de conjuntos

En matemáticas , particularmente en el estudio de la teoría de conjuntos , el álgebra de conjuntos ^{[ a ]} define las propiedades y leyes de los conjuntos , las operaciones de unión , intersección y complementación , así como las relaciones de igualdad e inclusión de conjuntos . También proporciona procedimientos sistemáticos para evaluar expresiones y realizar cálculos que involucren estas operaciones y relaciones.

Cualquier conjunto de conjuntos cerrado bajo las operaciones de la teoría de conjuntos forma un álgebra booleana donde el operador de unión es la unión, el operador de intersección es la intersección, el operador de complemento es el complemento de conjuntos, ^{[ 1 ]} el fondo es ⁠${\displaystyle \varnothing }$y la parte superior es el conjunto de universos que se está considerando.

Un conjunto es una colección de muchos objetos matemáticos . Ejemplos de tales objetos son números , símbolos, puntos en el espacio , líneas , otras formas geométricas , variables , funciones o incluso otros conjuntos. ^{[ 2 ]} Un conjunto generalmente se denota con una letra mayúscula y llaves , como en${\displaystyle A=\{1,2,3,4\}}$y${\displaystyle B=\{a,b,c,x,y,z\}}$.

Cada una de las identidades mencionadas anteriormente es una de un par de identidades tales que cada una puede transformarse en la otra mediante intercambio .${\displaystyle \cup }$y​​${\displaystyle \cap }$⁠ , mientras que también intercambian ⁠${\displaystyle \varnothing }$y​​${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$⁠ .

Estos son ejemplos de una propiedad extremadamente importante y poderosa del álgebra de conjuntos, a saber, el principio de dualidad para conjuntos, que afirma que para cualquier enunciado verdadero sobre conjuntos, el enunciado dual obtenido al intercambiar uniones e intersecciones, intercambiando ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$y​​${\displaystyle \varnothing }$y la inversión de inclusiones también es cierta. Se dice que una proposición es autodual si es igual a su dual.

Para cualquier subconjunto${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$de un conjunto de universos${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$⁠ , se cumplen las siguientes identidades:

leyes idempotentes

• ⁠${\displaystyle A\cup A=A}$[ ^{prueba 1 ]}
• ⁠${\displaystyle A\cap A=A}$[ ^{prueba 2 ]}

leyes de dominación

• ⁠${\displaystyle A\cup {\boldsymbol {U}}={\boldsymbol {U}}}$⁠
• ⁠${\displaystyle A\cap \varnothing =\varnothing }$⁠

leyes de absorción

• ⁠${\displaystyle A\cup (A\cap B)=A}$[ ^{prueba 3 ]}
• ⁠${\displaystyle A\cap (A\cup B)=A}$[ ^{prueba 4 ]}

La intersección se puede expresar en términos de diferencia de conjuntos:

⁠${\displaystyle A\cap B=A\setminus (A\setminus B)}$⁠

Dejemos​${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$ser subconjuntos de un universo${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$⁠ , entonces:

Leyes de De Morgan

• ⁠${\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}$⁠
• ⁠${\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}$⁠

Ley del doble complemento o ley de la involución

• ⁠${\displaystyle (A^{\complement })^{\complement }=A}$⁠

leyes complementarias para el conjunto universo y el conjunto vacío

• ⁠${\displaystyle \varnothing ^{\complement }={\boldsymbol {U}}}$⁠
• ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {U}}^{\complement }=\varnothing }$⁠

Nótese que la ley del doble complemento es autodual. Lo siguiente también es autodual, pues dice que el complemento de un conjunto es el único conjunto que satisface las leyes del complemento. En otras palabras, la complementación se caracteriza por las leyes del complemento: Sea${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$ser subconjuntos de un universo${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$⁠ ,

singularidad de los complementos

• Si​${\displaystyle A\cup B={\boldsymbol {U}}}$y​​${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle B=A^{\complement }}$⁠

El álgebra de conjuntos incluye la inclusión de conjuntos. Es decir, la relación binaria de que un conjunto sea un subconjunto de otro, que es un orden parcial . Si${\displaystyle A}$,​​${\displaystyle B}$y​​${\displaystyle C}$Si son conjuntos, entonces se cumple lo siguiente:

reflexividad

• ⁠${\displaystyle A\subseteq A}$⁠

antisimetría

• ⁠${\displaystyle A\subseteq B}$y​​${\displaystyle B\subseteq A}$⁠ si y solo si ⁠${\displaystyle A=B}$⁠

transitividad

• Si​${\displaystyle A\subseteq B}$y​​${\displaystyle B\subseteq C}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle A\subseteq C}$⁠

Para cualquier conjunto${\displaystyle S}$⁠ , el conjunto potencia de ⁠${\displaystyle S}$⁠ , ordenado por inclusión, es un retículo acotado y, por lo tanto, junto con las leyes distributiva y complementaria anteriores, muestra que es un álgebra booleana . Es decir, si ⁠${\displaystyle A}$,​​${\displaystyle B}$y​​${\displaystyle C}$son subconjuntos de un conjunto${\displaystyle S}$Entonces se cumple lo siguiente:

existencia de un elemento mínimo y un elemento máximo

• ⁠${\displaystyle \varnothing \subseteq A\subseteq S}$⁠

existencia de uniones

• ⁠${\displaystyle A\subseteq A\cup B}$⁠

• Si​${\displaystyle A\subseteq C}$y​​${\displaystyle B\subseteq C}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle A\cup B\subseteq C}$⁠

existencia de encuentros

• ⁠${\displaystyle A\cap B\subseteq A}$⁠
• Si​${\displaystyle C\subseteq A}$y​​${\displaystyle C\subseteq B}$⁠ , entonces ⁠${\displaystyle C\subseteq A\cap B}$⁠

El conjunto de inclusión${\displaystyle A\subseteq B}$⁠ es equivalente a varias otras afirmaciones que involucran uniones, intersecciones y complementos. Es decir, para cualesquiera dos conjuntos ⁠${\displaystyle A}$y​​${\displaystyle B}$⁠ , los siguientes son equivalentes:

• ⁠${\displaystyle A\subseteq B}$⁠
• ⁠${\displaystyle A\cap B=A}$⁠
• ⁠${\displaystyle A\cup B=B}$⁠
• ⁠${\displaystyle A\setminus B=\varnothing }$⁠
• ⁠${\displaystyle B^{\complement }\subseteq A^{\complement }}$⁠

Esto demuestra que la relación de inclusión de conjuntos puede caracterizarse mediante cualquiera de las operaciones de unión de conjuntos o intersección de conjuntos, lo que significa que la noción de inclusión de conjuntos es axiomáticamente superflua.

La siguiente proposición enumera varias identidades relacionadas con complementos relativos y diferencias de teoría de conjuntos.

PROPOSICIÓN 9 : Para cualquier universo${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$y subconjuntos​${\displaystyle A}$,​​${\displaystyle B}$y​​${\displaystyle C}$de​​${\displaystyle {\boldsymbol {U}}}$⁠ , se cumplen las siguientes identidades:

• ⁠${\displaystyle C\setminus (A\cap B)=(C\setminus A)\cup (C\setminus B)}$⁠
• ⁠${\displaystyle C\setminus (A\cup B)=(C\setminus A)\cap (C\setminus B)}$⁠
• ⁠${\displaystyle C\setminus (B\setminus A)=(A\cap C)\cup (C\setminus B)}$⁠
• ⁠${\displaystyle (B\setminus A)\cap C=(B\cap C)\setminus (A\cap C)=(B\cap C)\setminus A=B\cap (C\setminus A)}$⁠
• ⁠${\displaystyle (B\setminus A)\cup C=(B\cup C)\setminus (A\setminus C)}$⁠
• ⁠${\displaystyle (B\setminus A)\setminus C=B\setminus (A\cup C)}$⁠
• ⁠${\displaystyle A\setminus A=\varnothing }$⁠
• ⁠${\displaystyle \varnothing \setminus A=\varnothing }$⁠
• ⁠${\displaystyle A\setminus \varnothing =A}$⁠
• ⁠${\displaystyle B\setminus A=A^{\complement }\cap B}$⁠
• ⁠${\displaystyle (B\setminus A)^{\complement }=A\cup B^{\complement }}$⁠
• ⁠${\displaystyle {\boldsymbol {U}}\setminus A=A^{\complement }}$⁠
• ⁠${\displaystyle A\setminus {\boldsymbol {U}}=\varnothing }$⁠

• El álgebra σ es un álgebra de conjuntos, completada para incluir operaciones infinitas numerables.
• Teoría axiomática de conjuntos
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• Conjunto (matemáticas)
• Espacio topológico : un subconjunto de${\displaystyle \wp (X)}$⁠ , el conjunto potencia de ⁠${\displaystyle X}$⁠ , cerrado con respecto a la unión arbitraria, la intersección finita y que contiene ⁠${\displaystyle \varnothing }$y​​${\displaystyle X}$⁠ .

• Operaciones con conjuntos en ProvenMath