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Articulo de referencia

Modelo Sethi

El modelo Sethi fue desarrollado por Suresh P. Sethi y describe el proceso de cómo evolucionan las ventas a lo largo del tiempo en respuesta a la publicidad . [ 1 ] [ 2 ] El mod...

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El modelo Sethi fue desarrollado por Suresh P. Sethi y describe el proceso de cómo evolucionan las ventas a lo largo del tiempo en respuesta a la publicidad . [ 1 ] [ 2 ] El modelo supone que la tasa de cambio en las ventas depende de tres efectos: la respuesta a la publicidad que actúa positivamente sobre la porción no vendida del mercado, la pérdida debida al olvido o posiblemente debido a factores competitivos que actúan negativamente sobre la porción vendida del mercado, y un efecto aleatorio que puede ir en cualquier dirección.

Suresh Sethi publicó su artículo « Optimización determinista y estocástica de un modelo publicitario dinámico» en 1983. [ 1 ] El modelo de Sethi es una modificación y una extensión estocástica del modelo publicitario de Vidale-Wolfe. [ 3 ] El modelo y sus extensiones de canales competitivos y multinivel se han utilizado ampliamente en la literatura. [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ] [ 26 ] [ 27 ] [ 28 ] [ 29 ] [ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ] [ 3 ] Además, algunas de estas extensiones también se han probado empíricamente. [ 6 ] [ 7 ] [ 10 ] [ 13 ]

Modelo

El modelo publicitario de Sethi, o simplemente el modelo de Sethi, proporciona una dinámica de ventas y publicidad en forma de la siguiente ecuación diferencial estocástica :

dincógnitat=(rUt1−incógnitat−δincógnitat)dt+σ(incógnitat)dzt,incógnita0=incógnita{\displaystyle dX_{t}=\left(rU_{t}{\sqrt {1-X_{t}}}-\delta X_{t}\right)\,dt+\sigma (X_{t})\,dz_{t},\qquad X_{0}=x}.

Dónde:

  • incógnitat{\displaystyle X_{t}}es la cuota de mercado en el momentot{\displaystyle t}
  • Ut{\displaystyle U_{t}}es la tasa de publicidad en el momentot{\displaystyle t}
  • r{\displaystyle r}es el coeficiente de efectividad de la publicidad
  • δ{\displaystyle \delta }es la constante de desintegración
  • σ(incógnitat){\displaystyle \sigma (X_{t})}es el coeficiente de difusión
  • zt{\displaystyle z_{t}}es el proceso de Wiener ( movimiento browniano estándar );dzt{\displaystyle dz_{t}}se conoce como ruido blanco .

Explicación

La tasa de cambio en las ventas depende de tres efectos: respuesta a la publicidad que actúa positivamente sobre la porción no vendida del mercado a través der{\displaystyle r}, la pérdida debida al olvido o posiblemente debido a factores competitivos que actúan negativamente sobre la porción vendida del mercado a través deδ{\displaystyle \delta }y un efecto aleatorio que utiliza un término de difusión o ruido blanco que puede ir en cualquier dirección.

  • El coeficienter{\displaystyle r}es el coeficiente de efectividad de la innovación publicitaria.
  • El coeficienteδ{\displaystyle \delta }es la constante de desintegración.
  • El término raíz cuadrada introduce el llamado efecto boca a boca al menos en niveles bajos de ventas. [ 1 ] [ 5 ]
  • El término de difusiónσ(incógnitat)dzt{\displaystyle \sigma (X_{t})dz_{t}}introduce el efecto aleatorio.

Ejemplo de un problema de publicidad óptima

Sujeto al modelo Sethi anterior con la cuota de mercado inicialincógnita{\displaystyle x}Consideremos la siguiente función objetivo:

V(incógnita)=máximoUt≥0mi[∫0∞mi−ρt(πincógnitat−Ut2)dt],{\displaystyle V(x)=\max _{U_{t}\geq 0}\;E\left[\int _{0}^{\infty }e^{-\rho t}(\pi X_{t}-U_{t}^{2})\,dt\right],}

dóndeπ{\displaystyle \pi }denota los ingresos por ventas correspondientes al mercado total, es decir, cuandoincógnita=1{\displaystyle x=1}, yρ>0{\displaystyle \rho >0}indica la tasa de descuento.

La funciónV(incógnita){\displaystyle V(x)}se conoce como la función de valor para este problema, y ​​se demuestra que es [ 2 ]

V(incógnita)=λ¯incógnita+λ¯2r24ρ,{\displaystyle V(x)={\bar {\lambda }}x+{\frac {{\bar {\lambda }}^{2}r^{2}}{4\rho }},}

dónde

λ¯=(ρ+δ)2+r2π−(ρ+δ)r2/2.{\displaystyle {\bar {\lambda }}={\frac {{\sqrt {(\rho +\delta )^{2}+r^{2}\pi }}-(\rho +\delta )}{r^{2}/2}}.}

El control óptimo para este problema es [ 2 ]

Ut∗=tú∗(incógnitat)=rλ¯1− incógnitat2={>tú¯si incógnitat<incógnita¯,=tú¯si incógnitat=incógnita¯,<tú¯si incógnitat>incógnita¯,{\displaystyle U_{t}^{*}=u^{*}(X_{t})={\frac {r{\bar {\lambda }}{\sqrt {1-\ X_{t}}}}{2}}={\begin{cases}{}>{\bar {u}}&{\text{if }}X_{t}<{\bar {x}},\\{}={\bar {u}}&{\text{if }}X_{t}={\bar {x}},\\{}<{\bar {u}}&{\text{if }}X_{t}>{\bar {x}},\end{cases}}}

dónde

incógnita¯=r2λ¯/2r2λ¯/2+δ{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {r^{2}{\bar {\lambda }}/2}{r^{2}{\bar {\lambda }}/2+\delta }}}

y

tú¯=rλ¯1−incógnita¯2.{\displaystyle {\bar {u}}={\frac {r{\bar {\lambda }}{\sqrt {1-{\bar {x}}}}}{2}}.}

Extensiones del modelo Sethi

  • Modelo competitivo: juegos diferenciales de Nash [ 5 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ] [ 11 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 18 ] [ 27 ] [ 19 ] [ 30 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 23 ] [ 24 ] [ 25 ]
  • Modelo de múltiples niveles [ 4 ]
  • Pruebas empíricas del modelo de Sethi y extensiones [ 6 ] [ 7 ] [ 10 ] [ 13 ]
  • Publicidad cooperativa: juegos diferenciales de Stackelberg [ 4 ] [ 15 ] [ 16 ] [ 27 ] [ 19 ] [ 21 ] [ 31 ]
  • El modelo de bienes duraderos de Sethi [ 17 ] [ 18 ] [ 19 ] [ 22 ] [ 23 ]

Véase también

Referencias

  1. 1 2 3 Sethi, SP (1983). "Optimización determinista y estocástica de un modelo de publicidad dinámico". Optimal Control Applications and Methods . 4 (2): 179– 184. doi : 10.1002/oca.4660040207 . S2CID 123673289 . 
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  6. 1 2 3 Chintagunta, PK; Vilcassim, NJ (1992). "Una investigación empírica de las estrategias publicitarias en un duopolio dinámico". Management Science . 38 (9): 1230– 1244. doi : 10.1287/mnsc.38.9.1230 . S2CID 153538282 . 
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