invariante de Laguerre-Forsyth

En geometría proyectiva , el invariante de Laguerre-Forsyth es una diferencial cúbica que es invariante de una curva plana proyectiva . Recibe su nombre de Edmond Laguerre y Andrew Forsyth , este último quien analizó el invariante en un influyente libro sobre ecuaciones diferenciales ordinarias .

Supongamos que${\displaystyle p:\mathbf {P} ^{1}\to \mathbf {P} ^{2}}$es una inmersión tres veces continuamente diferenciable de la línea proyectiva en el plano proyectivo , con coordenadas homogéneas dadas por${\displaystyle p(t)=(x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t))}$Entonces, asociada a p está la ecuación diferencial ordinaria de tercer orden.

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}x&x'&x''&x'''\\x_{1}&x_{1}'&x_{1}''&x_{1}'''\\x_{2}&x_{2}'&x_{2}''&x_{2}'''\\x_{3}&x_{3}'&x_{3}''&x_{3}'''\\\end{matrix}}\right|=0.}$

En términos generales, esta ecuación se puede expresar de la siguiente forma:

${\displaystyle x'''+Ax''+Bx'+Cx=0}$

dónde${\displaystyle A,B,C}$son funciones racionales de los componentes de p y sus derivadas. Después de un cambio de variables de la forma${\displaystyle t\to f(t),x\to g(t)^{-1}x}$Esta ecuación se puede reducir aún más a una ecuación sin términos de primera o segunda derivada.

${\displaystyle x'''+Rx=0.}$

El invariante${\displaystyle P=(f')^{2}R}$es el invariante de Laguerre-Forsyth.

Una propiedad clave de P es que el diferencial cúbico P ( dt ) ³ es invariante bajo el grupo de automorfismos.${\displaystyle PGL(2,\mathbf {R} )}$de la línea proyectiva. Más precisamente, es invariante bajo${\displaystyle t\to {\frac {at+b}{ct+d}}}$,${\displaystyle dt\to {\frac {ad-bc}{(ct+d)^{2}}}dt}$, y${\displaystyle x\to C(ct+d)^{-2}x}$.

El invariante P se anula idénticamente si (y solo si) la curva es una sección cónica . Los puntos donde P se anula se denominan puntos sextácticos de la curva. Un teorema de Herglotz y Radon establece que toda curva cerrada estrictamente convexa tiene al menos seis puntos sextácticos. Este resultado fue extendido a diversos mínimos óptimos para curvas cerradas simples (pero no necesariamente convexas) por Thorbergsson y Umehara (2002) , dependiendo de la clase de homotopía de la curva en el plano proyectivo.

• Sasaki, Shigeo (1999), Geometría diferencial proyectiva y ecuaciones diferenciales homogéneas lineales
• Thorbergsson, G; Umehara, M (2002), "Puntos sextácticos en una curva cerrada simple" , Nagoya Mathematical Journal , 167 ( 4): 55–94