Lema de sombreado

En la teoría de sistemas dinámicos , el lema de sombreado describe el comportamiento de las pseudoórbitas cerca de un conjunto invariante hiperbólico . De manera informal, la teoría establece que cada pseudoórbita (que puede considerarse como una trayectoria calculada numéricamente con errores de redondeo en cada paso ^{[ 1 ]} ) permanece uniformemente cerca de alguna trayectoria verdadera (con una posición inicial ligeramente modificada); en otras palabras, una pseudotrayectoria es "sombreada" por una verdadera. ^{[ 2 ]} Esto sugiere que las soluciones numéricas pueden considerarse fiables para representar las órbitas del sistema dinámico. Sin embargo, se debe tener precaución, ya que algunas trayectorias de sombreado no siempre son físicamente realizables . ^{[ 3 ]}

Dada una aplicación f  : X → X de un espacio métrico ( X , d ) en sí mismo, defina una ε -pseudo-órbita (o ε -órbita ) como una secuencia    ${\displaystyle (x_{n})}$de puntos tales que${\displaystyle x_{n+1}}$pertenece a un entorno ε de${\displaystyle f(x_{n})}$.

Entonces, cerca de un conjunto invariante hiperbólico, se cumple la siguiente afirmación: ^{[ 4 ]} Sea Λ un conjunto invariante hiperbólico de un difeomorfismo f. Existe un entorno U de Λ con la siguiente propiedad: para cualquier δ  >  0 existe ε  >  0, tal que cualquier ε -pseudoórbita (finita o infinita) que permanece en U también permanece en un entorno δ de alguna órbita verdadera.

${\displaystyle \forall (x_{n}),\,x_{n}\in U,\,d(x_{n+1},f(x_{n}))<\varepsilon \quad \exists (y_{n}),\,\,y_{n+1}=f(y_{n}),\quad {\text{tal que}}\,\,\forall n\,\,x_{n}\in U_{\delta }(y_{n}).}$

En Men at Arms (1993), novela de Terry Pratchett , el "Lema de las Sombras" aparece como una criatura ficticia que "existe solo en dos dimensiones y se alimenta de matemáticos". En el mismo pasaje, Pratchett también hace referencia a la "mariposa del clima cuántico", un guiño al efecto mariposa y a la teoría del caos.

• Sistemas caóticos
• Efecto mariposa

• Teorema de sombreado en Scholarpedia
• ¿Puede una mariposa de Brasil controlar el clima de Texas?