Problema de disección

En geometría , un problema de disección consiste en dividir una figura geométrica (como un politopo o una esfera ) en piezas más pequeñas que puedan reorganizarse para formar una nueva figura con contenido equivalente. En este contexto, la división se denomina simplemente disección (de un politopo en otro). Generalmente, se requiere que la disección utilice solo un número finito de piezas. Además, para evitar problemas de teoría de conjuntos relacionados con la paradoja de Banach-Tarski y el problema de la cuadratura del círculo de Tarski , las piezas suelen requerir un comportamiento adecuado . Por ejemplo, pueden estar restringidas a ser clausuras de conjuntos abiertos disjuntos .

El teorema de Bolyai-Gerwien establece que cualquier polígono puede dividirse en cualquier otro polígono de la misma área, utilizando piezas poligonales disjuntas internamente. Sin embargo, no es cierto que cualquier poliedro pueda dividirse en cualquier otro poliedro del mismo volumen utilizando piezas poliédricas (véase el invariante de Dehn ). Este proceso sí es posible para cualquier par de estructuras hexagonales (como un cubo ) en tres dimensiones y para cualquier par de zonohedros de igual volumen (en cualquier dimensión).

Una partición en triángulos de igual área se denomina equidisección . La mayoría de los polígonos no pueden ser equidiseccionados, y aquellos que sí pueden, a menudo presentan restricciones en el número de triángulos posibles. Por ejemplo, el teorema de Monsky establece que no existe ninguna equidisección impar de un cuadrado . ^{[ 1 ]}

Entre los rompecabezas de disección , un ejemplo es el Rompecabezas del Mercero, planteado por el autor de rompecabezas Henry Dudeney en 1902. ^{[ 2 ]} Este rompecabezas busca dividir un triángulo equilátero en un cuadrado . Dudeney proporcionó una disección articulada con cuatro piezas. En 2024, Erik Demaine , Tonan Kamata y Ryuhei Uehara publicaron una preimpresión que afirmaba demostrar que no existe ninguna disección con menos piezas. ^{[ 3 ] [ 4 ]} Este trabajo fue seleccionado como uno de los "10 mayores avances matemáticos de 2025" por Scientific American . ^{[ 5 ]}

• El tercer problema de Hilbert

• David Eppstein , Mosaico de disección .
• Oisín Flynn-Connolly, Un cuadrado y un número impar de triángulos