El lema de Shapiro

En matemáticas , especialmente en las áreas del álgebra abstracta que tratan sobre la cohomología de grupos o el álgebra homológica relativa, el lema de Shapiro , también conocido como lema de Eckmann-Shapiro , relaciona las extensiones de módulos sobre un anillo con las extensiones sobre otro, en particular el anillo de grupo de un grupo y de un subgrupo . De este modo, relaciona la cohomología de grupos con respecto a un grupo con la cohomología con respecto a un subgrupo. El lema de Shapiro recibe su nombre de Arnold S. Shapiro , quien lo demostró en 1961; ^{[ 1 ]} sin embargo, Beno Eckmann lo había descubierto antes, en 1953. ^{[ 2 ]}

Sea R → S un homomorfismo de anillos , de modo que S se convierte en un R -módulo izquierdo y derecho . Sea M un S -módulo izquierdo y N un R -módulo izquierdo. Por restricción de escalares , M también es un R -módulo izquierdo .

• Si S es proyectivo como R -módulo derecho, entonces:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}(N,{}_{R}M)\cong \operatorname {Ext} _{S}^{n}(S\otimes _{R}N,M)}$

• Si S es proyectivo como un R -módulo izquierdo, entonces:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{R}^{n}({}_{R}M,N)\cong \operatorname {Ext} _{S}^{n}(M,\operatorname {Hom} _{R}(S,N))}$

Véase ( Benson 1991 , p. 47) . Las condiciones de proyectividad pueden debilitarse hasta convertirse en condiciones sobre la desaparición de ciertos grupos Tor o Ext: véase ( Cartan y Eilenberg 1956 , p. 118, VI.§5) .  

Cuando H es un subgrupo de índice finito en G , entonces el anillo de grupo R [ G ] es proyectivo finitamente generado como módulo izquierdo y derecho de R [ H ], por lo que el teorema anterior se aplica de manera sencilla. Sea M una representación de dimensión finita de G y N una representación de dimensión finita de H. En este caso, el módulo S ⊗ _R N se llama la representación inducida de N de H a G , y _R M se llama la representación restringida de M de G a H. Se tiene que:

${\displaystyle \operatorname {Ext} _{G}^{n}(M,N\uparrow _{H}^{G})\cong \operatorname {Ext} _{H}^{n}(M\downarrow _{H}^{G},N)}$

Cuando n = 0, esto se denomina reciprocidad de Frobenius para módulos completamente reducibles y reciprocidad de Nakayama en general. Véase ( Benson 1991 , p. 42) , que también contiene estas versiones superiores de la descomposición de Mackey. 

Especializar M para que sea el módulo trivial produce el conocido lema de Shapiro. Sea H un subgrupo de G y N una representación de H. Para N ^G la representación inducida de N de H a G usando el producto tensorial , y para H_{${\displaystyle \ast }$}la homología de grupo :

H_{${\displaystyle \ast }$}( G , N ^G ) = H_{${\displaystyle \ast }$}( H , N )

De manera similar, para N ^G la representación co-inducida de N de H a G usando el functor Hom , y para H^{${\displaystyle \ast }$}la cohomología de grupo :

H^{${\displaystyle \ast }$}( G , N ^G ) = H^{${\displaystyle \ast }$}( H , N )

Cuando H tiene un índice finito en G , entonces las representaciones inducidas y coinducidas coinciden y el lema es válido tanto para homología como para cohomología.

Véase ( Weibel 1994 , p. 172) . 

• Cambio de anillos

• Benson, David J. (1991), Representaciones y cohomología. I , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  30, Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-36134-7, MR 1110581 
• Cartan, Henri ; Eilenberg, Samuel (1956), Álgebra homológica , Princeton University Press
• Eckmann, Beno (1953), "Cohomología de grupos y transferencia", Annals of Mathematics , 2.ª serie, 58 (3): 481–493 , doi : 10.2307/1969749 , JSTOR 1969749 , MR 0058600  .
• Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Alejandro; Wingberg, Kay (2000), Cohomología de campos numéricos , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , vol.  323, Berlín: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-66671-4, MR 1737196 , Zbl 0948.11001  , página 59
• Weibel, Charles A. (1994), Introducción al álgebra homológica , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol.  38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR 1269324 , OCLC 36131259