Desigualdad de Shapiro

En matemáticas , la desigualdad de Shapiro es una desigualdad propuesta por Harold S. Shapiro en 1954. ^{[ 1 ]}

Supongamos que n es un número natural y x ₁ , x ₂ , … , x _n son números positivos y:

• n es par y menor o igual que 12 , o
• n es impar y menor o igual que 23 .

Entonces, la desigualdad de Shapiro establece que

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\frac {x_{i}}{x_{i+1}+x_{i+2}}}\geq {\frac {n}{2}},}$

donde x _{n +1} = x ₁ y x _{n +2} = x ₂ . El caso especial con n = 3 es la desigualdad de Nesbitt .

Para valores mayores de n la desigualdad no se cumple, y el límite inferior estricto es γ ⁠ n / 2 ⁠ con γ ≈ 0,9891 … (secuencia A245330 en el OEIS ) .

Las demostraciones iniciales de la desigualdad en los casos clave n = 12 ^{[ 2 ]} y n = 23 ^{[ 3 ]} se basan en cálculos numéricos. En 2002, PJ Bushell y JB McLeod publicaron una demostración analítica para n = 12 . ^{[ 4 ]} 

El valor de γ fue determinado en 1971 por Vladimir Drinfeld . Específicamente, demostró que la cota inferior estricta γ viene dada por ψ (0) , donde la función ψ es la envoltura convexa ^de f ( x ) = e⁻ˣ y g ( ^x ) = 2/( eˣ + eˣ ^{/ 2} ) . (Es decir, la región por encima de la gráfica de ψ es la envoltura convexa de la unión de las regiones por encima de las gráficas de ^f y g ) . ^{[ 5 ] [ 6 ]}

Los mínimos locales interiores del lado izquierdo son siempre ≥ n / 2 . ^{[ 7 ]}

El primer contraejemplo fue hallado por Lighthill en 1956, para n = 20 : ^{[ 8 ]}

${\displaystyle x_{20}=(1+5\epsilon ,\ 6\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 5\epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+2\epsilon ,\ \epsilon ,\ 1+3\epsilon ,\ 2\epsilon ,\ 1+4\epsilon ,\ 3\epsilon ,\ 1+5\epsilon ,\ 4\epsilon ,\ 1+6\epsilon ,\ 5\epsilon ),}$

dónde${\displaystyle \epsilon }$está cerca de 0. Entonces el lado izquierdo es igual a${\displaystyle 10-\epsilon ^{2}+O(\epsilon ^{3})}$, por lo tanto, menor que 10 cuando${\displaystyle \epsilon }$es lo suficientemente pequeño.

El siguiente contraejemplo para n = 14 es de Troesch (1985):

${\displaystyle x_{14}=(0,42,2,42,4,41,5,39,4,38,2,38,0,40)}$(Troesch, 1985)

• Fink, AM (1998). «La desigualdad de Shapiro». En Gradimir V. Milovanović, GV (ed.). Avances recientes en desigualdades. Dedicado al Prof. Dragoslav S. Mitrinović . Matemáticas y sus aplicaciones (Dordrecht). Vol.  430. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. pp. 241–248 . ISBN  0-7923-4845-1. Zbl 0895.26001 . 

• Discusión en Usenet en 1999 (notas de Dave Rusin)
• Desigualdad de Shapiro en PlanetMath .